合作交流 灵动课堂——“多元变量最值”课后反思

顾燕菊

（江苏省沙溪高级中学，江苏 沙溪）

多元变量求最值是模拟卷中及历年高考命题中的热点问题，因其变量多、技巧性强、难度大、方法多、综合能力要求较高，难以打开思路，学生普遍感觉棘手，大多是费尽周折，难以找到解题的思路和切入点，所以每次遇到学生都比较害怕。“多元变量的最值问题”要求学生能熟练利用基本不等式及其变形形式等知识来解决，对学生的综合能力要求较高。为此这节课通过小组合作、自主探究、展示交流，发展学生的思维，把课堂还给学生，让学生在探究中消除恐惧，在合作中提升思维，在交流展示中提升自信。在教学过程中充分发挥主观能动性，挖掘学生的潜能，充分调动学生的兴趣，在这样的氛围中学生能更多地掌握数学思想和方法，真正地爱上数学。

基于此，设置本节课的教学目标如下：

1.课前学生完成活动导学单的热身训练，完成小组间的交流，探讨求最值的常用方法，总结多元变量最值（范围）的一些常用方法。

2.对近阶段的题进行回顾，对原题进行适当的变式，对一类题能够得到系统的理解，对多元变量最值进行探索，凸显高考的重点，能根据题目特点选取恰当的方法。

3.通过多元变量最值的研究，感受数学思想方法，培养学生归纳总结的习惯。

活动一：完成热身训练，总结求多元变量最值的常用方法

1.已知正数a，b满足2a+b=1，则4a2+b2的最小值为____

设计意图：本题的最小值既可以通过消元来完成，也可以通过配成已知条件的形式用基本不等式来解决，在消元过程中强调范围意识，在基本不等式过程中强调基本不等式的完整性，特别是等号成立的条件。

2.已知 x2+y2=1，则的最大值为____

设计意图：本题相对比较简单，三角换元和线性规划学生比较容易想到，已知条件是二次的形式，也可以令，变形得，回代得到用“△”法解决。

3.已知 m，n 均为实数，则（m-n）2+（m-Inn）2的最小值为 ____

设计意图：在解决数学问题时，重视式子结构特征的分析与把握，探究式子的几何意义，把抽象的代数式与直观的几何图形结合起来，换一个角度审视问题，从而找到解决问题的突破口。

4.已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值为______

设计意图：上面三个总结了二元变量求最值的常用方法，从二元扩展到三元，将思想方法进行迁移，本题的解法多样化。消元后可利用方程思想，用“△”法，也可进行三角代换。强调三元的处理模式一般对三元的进行减元，再用二元的方法去处理。

热身训练设计意图：通过课前热身训练、小组探究、展示交流，让学生复习总结多元变量求最值的常用方法：（1）消元（注意自变量的取值范围）；（2）基本不等式（注意完整性，特别是等号取到的条件）；（3）换元；（4）“△”；（5）几何意义。对于三元变量的最值一般减元处理。对于热身训练的这些题，难度适中，便于学生展开思考；一题多解，对二元最值问题的一个拓展与延伸，让学生掌握基本思想方法的同时发散学生的思维，变量由二元变成了三元，难度加大的同时，也让学生对所学知识有新的认识和尝试，有利于培养学生分析与解决问题的能力。由小组派学生讲解小组的解法，由其他小组进行质疑和补充，充分发挥学生课堂主动性，老师在适当的时候总结归纳，培养学生自主探究、合作交流的能力，在交流中得到自信，在课堂中得到快乐。

活动二：典型例题

处于高三的冲刺阶段，所以活动二中的题都是比较典型的题目，启发学生在练习中多思考，达到做一题、会一类、通一片的目的，培养学生举一反三的发散思维能力。

设计意图：最基本的题目，“1”的妙用，做到人人都会。基本不等式是解决几个正数之和与积互相转化的依据，特别是在求最值时，一定要紧扣“一正二定三相等”三个条件。

变式1：已知实数x，y满足x>y>0且x+y=1，求的最小值。

设计意图：变式1带有一定的技巧性，通过观察分母的形式得到和为定值，通常把分母看成一个整体进行换元，回归到“1”的妙用。

设计意图：发散学生思维，体验多元变量的一题多解，适当归纳。也从题中强调细节，方法1的变量的取值范围，方法3的两次用基本不等式，强调检验取等号的条件是否一致。

2.已知 a，b 为正实数，且（a-b）2=4（ab）3，则的最小值为_____

设计意图：苏锡常镇二模的题，回顾做法，增强信心。法1从结论出发，根据结论要的a+b和ab的形式从题目中构建，非常完美地用了基本不等式；法2通过齐次化配方构造后用一次基本不等式。本题已经处于一张试卷的最后一个填空题，在学生的交流展示中得到自信是关键。

设计意图：减元是突破这类题型的关键，联系前面二元最值的基本解题策略，将思想方法进行迁移。变为二元变量的最值后，学生容易看出可通过齐次来解决，分母上是多项式，也可把分母看成一个整体来解决，三元变量的处理给学生以更开阔的视野，有利于学生较系统全面地认识并掌握解题过程中所蕴含的数学思想方法。总的来说，上述三个例题，以典型例题为引，推动学生感悟理解数学知识，理清知识与思想方法的脉络，达到能力提升的目的。

求解多元变量的最值问题，归根结底需要完成两个步骤：（1）索因搭桥定方向；（2）多化一二减变量。熟记几个常用的方法，会让解题过程事半功倍。在最后的半个月中，要达到做一题、学一法、会一类、通一片。本节课的设计重在方法归类，明确数学的基本方法，也适当拓展，更有助于启迪学生的智慧，将学得的知识融会贯通，通过巧妙地变形、换元、转化，化归为熟悉问题，挑战较难的题，收获成功的喜悦。多元变量最值的基本方法在课上由学生展示完成，课上合作、对话、质疑、交流，思维碰撞，气氛活跃，在竞争中进步。在教学过程中充分发挥学生的主观能动性，挖掘学生的潜能，调动学生的兴趣。小组合作增强学生间的交流，培养学生发言和交流的习惯，锻炼学生思维的敏捷性，培养团队精神，体现学生的主体地位。我们老师在课堂中多探索、多反思、多总结，找到自己的定位，让我们把握好“越位”和“缺位”，使课堂教学更精彩，使我们的学生更有活力。