对课标教材中相对误差的表达式的理解和教学建议

■江西省南昌市第十中学 邵建群

相对误差是人教版普通高中课程标准实验教科书物理必修1学生实验第3节《误差和有效数字》中的概念，由于该部分不是教材中的主要内容，加上高一物理学时少、对实验教学的轻视等原因，所以大部分学生包括教师都普遍对本节概念中的相对误差的表达式及列举的数据感到费解，在教学过程中同行之间也有过剧烈的争论。现我在本文对上述问题作一番分析，肤浅或不当之处希望专家和同行们指正。

教材以毫米刻度尺测量一段铜线的直径为例：直接测量读数为1.2mm，由于估读不准确，产生的误差可能为0.2mm甚至更大，暂且说这次的误差是0.2mm，则误差与测量值之比为0.2/1.2=17%；如果把铜线密绕在木棒上共10匝，测出10匝的直径和为12.3mm，由于是同一尺子即误差还是0.2mm，则误差与测量值之比变为0.2/12.3=1.6%。

之后教材把两个式子推广得出：相对误差=绝对误差/测量值。教学过程中发现：不少学生和教师对文中的相对误差的表达式持否定态度，对0.2mm的得来及把它作为绝对误差感到困惑，对第二次累积法测量的相对误差中的分母12.3mm为什么不用一匝的1.23mm感到不可理解。我翻阅各中物理实验参考书后认为，教材上相对误差的表达式欠妥，但站在高中生、高中教材的角度又可认为该公式正确，这是因为：1.教材上给出了误差的定义，但对绝对误差仅仅根据给出的米尺的数据误差是0.2mm，强行给出一个绝对误差的概念不很严密。

其实绝对误差就是教材中误差的定义，但正如有了速度这个物理量但在实际生活中为了描述运动的快慢又细分为瞬时速度和平均速度这两种一样，误差=测量值-真实值表达式中，如果单位一致表达式就表示物理学上的绝对误差，教材和教学时应增加绝对误差的引入背景，只有这样才能让学生接下去理解相对误差的含义；至于教材认为米尺在测量长度时的绝对误差是0.2mm是根据标准偏差的计算公式得出米尺的绝对误差是最小分度的五分之一得到的一个极限误差2.相对误差的引入背景同样很重要：如要比较速度表达式中的测量中长度和时间的绝对误差，就会发现比较这两种单位和物理量都不同的绝对误差毫无意义。

为了解决以上问题，需引入另外一个物理量即相对误差。相对误差是绝对误差与真实值之比，但由于公式中的绝对误差无法求出，所以物理实验理论中一般用标准偏差（或极限误差，平均偏差）求出绝对值的近似值，定义中分母真实值同样不能得出，为此实验物理学中认为如果误差是偶然误差，则多次测量后（学生实验一般取4～10次为最佳）的平均值作为真实值代入，这是因为多次测量的数据产生的偶然误差中有正有误，相加后可抵消一些，所以长用算术平均值代表真实值，这就会出现教材中相对误差的表达式为相对误差=绝对误差/测实值，物理学一般用标准偏差（或极限误差，平均偏差）和多次测量的平均值之比作为对相对误差的估计值是通行做法，所以在教学过程中对相对误差的几种表达式的形式应向学生简单介绍并引导学生理解。由此可得到原来教材中的相对误差值是其实是相对误差的估计值，从高中生的知识程度和课标教材对高中实验精确度要求来看是可行的。

但鉴于教材的权威性和导向性，我认为在学生理解的基础上把教科书上的相对误差的几种表达式相应改为：相对误差=绝对误差/真实值，实际上往往用例子中的相对误差=极限误差/测量平均值来作为相对误差的估计值就更科学、更全面。这不仅有利于高中物理的学，而且也有利于高中物理的教，更有利于学生对待实验数据的态度和处理技巧。提高学生的物理核心素养中的科学思维和科学探究及科学态度和责任感。另外，对第二次测10圈的相对误差，编者的意图是比较米尺测一圈与10圈总长的相对误差的大小，但我认为应比较两次均测一圈的相对误差，否则让学生感到难于理解：测得圈数越多，总长越长，同把米尺的相对误差越小。但用同一把尺测量过短和过长都会产生较大的误差这一事实不符。