高中初等函数学习难点思考

程卓然

初等函数是高中阶段数学学习中的重要内容，也是同学们在解题过程中最常使用到的一类函数.它包括常函数、幂函数、指数函数、三角函数、反三角函数、对数函数，以及这些函数与常数经过有限次的四则运算所得到的新的复合函数，在分析学领域中有着十分广泛的应用.作为高考数学重点考查的知识点之一，学好初等函数知识的重要性不言而喻.为此，本文对高中初等函数学习中的一些难点问题进行了详细分析，并结合自身学习体会，给出了相应的学习对策，以期能够有效帮助同学们切实提高自身的数学学习成绩.

一、初等函数的概念定义

根据我们所接触到的高中数学不同版本的教材及教辅书籍中的相关内容，关于初等函数概念的定义目前主要有以下三种阐述：

（1）初等函数指由基本初等函数经过有限次的四则运算及复合所得到的函数；

（2）初等函数指由基本初等函数经过有限次的四则运算及复合，并且是用一个新的解析式所表达出来的函数；

（3）初等函数指由基本初等函数经过有限次的四则运算及复合，并且能够用一个新的解析式所表达出来的函数.

由以上定义来看，初等函数的满足条件之一是基本初等函数要经过有限次数的运算和复合，其中定义（1）并没有对初等函数的形式作出要求，而定义（2）、定义（3）则是对初等函数表达形式的要求程度不同，定义（2）要求必须用解析式表达，而定义（3）则是说可用解析式表达，可见两个定义并非是等价的.在我们实际学习过程中，经常会遇到一些函数的初等性不容易判定的情况，继而在解题时产生困惑.因此，要想彻底掌握初等函数的性质和具体应用，我认为，理清教材中关于初等函数的定义是关键，只有这样才能灵活运用初等函数知识来进行解题.

二、高中数学初等函数学习中的难点分析与对

策建议

1.基本概念意义混淆不清.

在高中阶段的数学学习中，函数f（x）中的自变量和方程式中的未知数均用x表达，不少同学在学习这部分内容时常常容易将这两个概念混淆不清，解题时感到无从下手.究其原因主要是对于“变量”这一概念的理解还停留在初中时期的“未知数”阶段，所以在解题时仍然习惯于用等量代换的方式来解决问题.针对这一问题，在学习初等函数这部分知识时，可以有意识地将函数与方程实例进行对比，在老师的帮助下理清自变量与未知数这两个概念之间的区别.

2.忽视定义域.

许多同学在解题时常常只关注解析式本身，却忽略了定义域的重要性，导致求出错误的结果.这一问题出现的原因一方面与平时缺乏严谨的解题习惯有关，另一方面则是由于对函数基本概念定义的理解不透彻.事实上，在初中阶段的函数学习中，就已经提出了函数的三要素，分别为定义域、對应法则和值域.因此，高中阶段在重视初等函数的解析式同时，还应充分考虑函数本身的定义域问题，养成“定义域优先”的良好解题意识.

3.将函数图像的对称性与对称变换混为一谈.

例：（1）若对于任意x∈R，有f（x+5）=f（9-x），则求函数f（x）图像的对称轴.

（2）求函数y=f（5+x）与函数y=f（9-x）的图像的对称轴.

解：（1）根据题目中给出的条件可知，函数f（x）图像本身关于某一条对称轴对称，且该对称轴上所有点的横坐标必然为点（x+5，0）和（9-x，0）的重点，所以不难求出对称轴为：x=（x+5）+（9-x）2=7.

（2）不难看出，函数y=f（5+x）是函数y=f（x）向左平移五个单位得到的，而函数y=f（9-x）则是由函数y=f（-x）向右平移九个单位得到的，所以这两个函数图像的对称轴为：x=9-52=2.

在解该题时，同学们经常会分不清（1）是函数自身关于某一个轴对称，而（2）是两个函数关于一条轴对称，所以在解题时很容易混淆两种解题方法，盲目答题，求出错误的答案.为此，在学习这部分内容时一定要从根本上理解透彻函数图像的性质和变换特点，然后再进行解题.

综上所述，初等函数知识在我们高中数学学习中占有十分重要的地位，需要我们高度重视.一方面，要认真解读课本上关于初等函数形式的表述要求，准确判定函数的初等性，理清变量与未知数概念定义的区别.另一方面，还应注重培养自己形成良好的解题习惯和严谨的逻辑思考能力，牢固掌握初等函数的解题技巧，不断提高自身的数学综合能力水平.