采用箔片轴承的高速透平转子动力学分析*

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(1.西安交通大学动力工程多相流国家重点实验室 陕西西安 710049；2.西安交通大学苏州研究院 江苏苏州 215123)

高速透平机械为满足较高的效率往往需要维持较高的工作转速，气体轴承由于其高转速、低摩擦、无油润滑等特点在高速透平机械中具有良好的应用前景[1]。气体轴承的工作原理与传统油润滑轴承是基本相同的，不同的是采用气体代替润滑油作为润滑介质，利用气体的黏性提高轴承间隙中的压力以达到承载的作用[2]。箔片气体轴承作为气体轴承的一种，由于其柔性表面与弹性支撑的特性，具有良好的刚度与阻尼特性，可以有效抑制转子运转过程中的振动与涡动，使转子保持平稳运行。

国内外目前均有将动压气体轴承应用在工程产品的实例。美国的Creare公司在研发应用于航天领域的微型透平时使用了动压气体轴承，该公司开发的微型透平转子很小，其直径仅几毫米，但转速达几千转每秒，使得除动压气体轴承之外其他形式的高速轴承均无法满足要求[3]。西安交通大学从19世纪80年代中期开始，对透平机械采用的动压气体轴承进行了系统的基础研究，对动压气体轴承的设计与应用开展了一系列研究工作，先后开发出十余种动压气体径向与止推轴承[4]。

目前针对箔片轴承的理论研究主要集中在对轴承本身的数值计算以及实验分析，而较少有对整个轴承转子系统的研究。箔片轴承的最大特点集中在其柔性特征对于转子系统的能量耗散与稳定性方面，因此，仅对轴承进行数值分析是片面的。为了更深层次地揭示高速转子轴承系统的动力学特性，本文作者通过有限元转子动力学建模的方法对箔片轴承支承的高速透平转子系统进行了有限元数值分析。

1 有限元转子动力学模型

有限元转子动力学分析方法是一种经典的转子动力学频域分析方法[5]。文中针对箔片轴承有限元数值分析，是以一台高速透平膨胀机的转子系统为对象进行有限元离散，通过各单元节点的位移对整个单元内任意位置点的位移进行描述，从而建立了运动方程并扩展到整个转子系统，进而得到整个转子系统的运动方程。模型中的转子系统包括刚性主轴、止推盘和2个起支撑作用的径向箔片轴承(忽略止推轴承影响)，其中主轴两端分别装配有透平工作轮和风机轮。转子系统与有限元离散示意图如图1所示，主要结构参数如表1和表2所示。

图1 转子结构有限元离散示意图Fig 1 Finite element discrete schematic diagram of rotor structure

表1 透平膨胀机的基本尺寸Table 1 Main parameters of the turbo expander

表2 工作轮与风机轮质量与转动惯量Table 2 Mass and rotary inertia of work wheel and fan wheel

文中针对高速透平膨胀机建立的有限元转子动力学模型由轴段单元、轮盘单元和轴承单元3种单元构成。主轴部分采用轴段单元描述，工作轮、风机轮、止推盘采用轮盘单元描述，2个径向箔片轴承用轴承单元描述[6]。

文中的有限元转子动力学模型对轴段单元的有限元分析采用梁理论并考虑其剪切应变[7]，轴段单元示意图如图2所示，每个节点有x、y2个方向的挠度和挠曲转角，即每个节点有4个自由度，每个单元共有8个自由度，但这2个方向的挠度和挠曲转角都是相互独立的。根据一般梁理论，可得到轴段单元的刚度矩阵、质量惯性矩阵、转动惯性矩阵和陀螺力矩阵[8]。将轴段单元的转动惯性矩阵、质量惯性矩阵和轮盘单元的质量矩阵总惯性矩阵M，将轮盘单元的陀螺力矩阵、轴段单元的陀螺力矩阵和轴承单元阻尼矩阵代入总阻尼矩阵B，轴承单元刚度矩阵和轴段单元刚度矩阵代入总刚度矩阵K，得到系统的运动方程：

(1)

在不受外力的情况下，系统做自由振动的运动方程[9]为

(2)

上式可改写为

(3)

写为矩阵形式为

(4)

求解上式特征值即可求得转子系统自然频率随转速的变化关系[10]。

图2 轴段单元示意图Fig 2 Schematic diagram of the shaft element

2 有限元数值分析

在经典转子动力学理论中，转子涡动被认为是转子系统在自然频率下的自然振动，计算得到转子系统的自然频率即可获得转子的涡动频率[11]。文中通过建立高速低温透平膨胀机转子系统有限元转子动力学模型，计算得到系统在不同转速下各模态的涡动频率，从而得到各个模态下的涡动频率曲线。

根据鼓泡箔片径向轴承的数值模型计算得到25 mm双层径向箔片轴承在65 000 r/min下的刚度系数与阻尼系数如表3所示。

将数值计算所得到的径向箔片轴承的刚度系数与阻尼系数代入有限元转子动力学模型，得到了转子系统对应的临界转速大小。示例的计算仅提取了1～6阶临界转速转速进行分析，由于更高阶的临界转速已大大超出了高速透平膨胀机的工作范围，文中未讨论。转子系统对应1～6阶临界转速下的模态振型示意图如图3所示，可以看出低频涡动频率均为转子刚体运动模态，而高频涡动频率对应转子的弯曲模态。转子系统中转子具有较大的刚性而箔片轴承具有较大柔性而导致转子的弯曲模态频率远大于其运动模态频率。

表3 鼓泡箔片轴承的刚度与阻尼数值计算结果Table 3 Stiffness and damping of protuberant foil bearing

图3 转子系统临界转速与对应振型示意图Fig 3 Critical speed of rotor system and corresponding diagram of vibration

对于高速透平膨胀机的转子系统，其工作转速需要远离临界转速以保证转子系统的稳定运行，而在低频涡动频率与高频涡动频率间的较宽转速范围即是转子系统的安全工作范围。从有限元转子动力学模型数值计算得到的系统临界转速可以看出：4 000～220 000 r/min之间均为系统的安全转速。对于25 mm透平膨胀机，220 000 r/min已经远高于其工作转速，4 000 r/min亦远低于其设计转速，故转子在运行过程中只需跨越低频涡动频率运行在低频、高频涡动频率间的安全转速范围即可保证系统的稳定运行，其中箔片轴承的刚度与阻尼特性是保证转子系统可以具有较大安全转速范围的关键因素。对于采用箔片轴承作为支撑的高速透平膨胀机，在其启动升速过程即可跨越低频涡动频率，且箔片轴承良好的阻尼特性可以很好地耗散转子的涡动能量以保证转子的平稳运行。

为了比较轴承刚度特性对转子系统的影响，文中通过改变箔片轴承的箔片厚度使轴承具有不同支撑刚度大小，进而对比分析轴承支撑刚度对转子系统临界转速的影响。表4所示为不同箔片厚度下轴承的刚度系数与阻尼系数。

表5所示为不同箔片厚度的轴承的临界转速大小。可以看出：不同箔片厚度的轴承对于转子系统的前4阶临界转速具有较大的影响，但对其高阶临界转速基本无影响；随着轴承所用箔片厚度的增加，轴承的刚度具有明显的提升，使转子系统的低阶自然频率具有明显的提升现象，当箔片厚度由0.1 mm增加至1 mm，轴承低阶临界转速由约3 000 r/min增加至12 000 r/min。

表4 不同箔片厚度下轴承的刚度系数与阻尼系数Table 4 Stiffness and damping of protuberant foil bearing with different foil thickness

表5 轴承刚度对临界转速的影响Table 5 The influence of bearing stiffness on critical speed

由于转子系统中转子的刚度并无变化，其高阶临界转速基本维持在一定的值，但由于随着轴承刚度的增大，其低阶临界转速逐渐升高，使转子系统的安全转速范围具有随轴承刚度升高而减小的趋势。因此，采用较低刚度的箔片轴承可以使转子系统具有更宽的安全转速范围。然而，低刚度箔片轴承虽然可以使转子系统具有更宽的安全转速范围，但同时轴承刚度的减小会使其在相同载荷下需要达到更大的偏心率，这对透平工作轮是不利的。同时，更大的径向轴承偏心率会使轴承在工作过程中发生更大的局部不均匀变形，易造成轴承的损坏失效，且柔性较大的轴承在启动时更易发生磨损，特别是当轴承具有一定预载荷时轴承极易出现磨损失效。

3 转子动力学时域分析

文中所建立的有限元转子动力学模型，需先通过摄动法计算得到箔片轴承的动态刚度系数与动态阻尼系数，带入模型再进行后续的计算分析。摄动法属于频域分析方法的一种，其根据转子轴心周期运动的特点将模型中的时间项得以简化分析。然而实际的转子运动状态并非为准确周期运动，其频率也可能并未单一，这种情况下摄动法运用的假设条件并不成立，使模型的数值计算存在较大的误差。因此文中提出一种时域分析模型。

假定一个质量为mr、转动惯量为J而偏心为em的转子，其形心为(xo,yo)质心为(xc,yc)，形心与质心连线与水平面的夹角为θr，得到转子的运动方程并通过Newton-Raphson法进行求解。模型的结构简图如图4所示。

图4 时域模型结构简图Fig 4 Schematic diagram of the time domain model

通过转子动力学时域分析模型进行数值计算得到的转子轴心轨迹如图5所示，可以看出：低频涡动的存在使转子的轴心轨迹呈现明显的带状分布。后续对转子轴心轨迹数据进行分析得到转子在x、y方向的位移信号，对位移信号进行频谱分析即可获得转子运动的频率信息。

为了探究时域模型对于转子运动状态描述的准确性，文中对一台采用箔片轴承的高速透平膨胀机进行了相关试验研究，并将试验结果与数值分析结果进行对比，验证时域分析对于高速透平转子动力学行为分析的有效性。试验研究的测试系统与测试元件如图6所示。

图5 时域分析模型计算的轴心轨迹与频谱分析结果Fig 5 The orbit of rotor center and the frequency analysis results of the time domain model (a)orbit of rotor center at 60 000 r/min;(b)frequency analysis results

图6 试验测试系统与测试元件图Fig 6 Test system and the tested turbo expander

试验测得25 mm转子在60 000 r/min转速下的轴心轨迹如图7所示。与数值计算结果进行直观地对比可以发现：试验所得转子轴心轨迹与频谱分析结果与数值模型模拟所得结果吻合良好，两者均同时存在主频与低频2个涡动频率成分，其中的主频由转子不平衡质量引起，与转速频率一致。由此可见，转子动力学时域分析模型可以更加直观准确地对转子的运动状态进行分析。

图7 试验测得的转子轴心轨迹与频谱分析结果Fig 7 The orbit of rotor center and the frequency analysis results by experiment (a)orbit of rotor center at 60 000 r/min;(b)frequency analysis results

4 结论

(1)轴承的刚度特性对转子系统自然频率具有重要影响，转子系统的低频涡动频率随轴承刚度的增大而增大，其高阶涡动频率由转子刚度决定。

(2)高速透平转子系统的低阶临界转速与所采用轴承的支撑特性具有重要的联系，轴承刚度越大系统低阶临界转速越大。

(3)高速透平转子系统的高阶临界转速远高于透平的工作转速，其高阶临界转速与轴承的刚度特性无关，仅由转子刚度决定，采用箔片轴承进行支撑可以使透平转子系统具有更宽的安全转速范围，且其低频涡动频率相比透平的工作转速要低得多，仅需在启动过程中跨越其低阶临界转速即可平稳运行。

(4)采用转子动力学时域模型可以更加直观地描述转子的运动状态，可以得到转子的轴心运动轨迹，其计算结果与实验结果吻合良好且更加贴合工程实际。