数学，也应讲故事

尚飞

2016年，《中国学生发展核心素养》总体框架正式发布，相应地基础教育阶段的数学教育也有所变化，史宁中教授认为这个变化就是能更好地实现从“双基”走向“四基”的课程目标。

让学生形成基础知识和基本技能，一直是我国数学教育的基本特征之一，也成为我国数学教育的优势，那怎样的教学才能更好地走向基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验呢？

当你打开这本书时，就会欣喜地发现，史宁中教授以答问的方式，讲述了小学数学教学内容的实质，探讨能够实现“四基”课程目标、适合小学生认知规律的表达方式和教学方法。

下面我拟从书中感受最深的三句话说起。

第一句，让抽象的核心舍去现实背景，联系的核心是回归现实背景。

数感是什么呢？史宁中教授在谈到“数感”的时候指出：主要指关于数与数量、数量关系、运算结果的估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。

从他的表述中我们可以得知，数感不仅是让学生感悟“数是对数量的抽象”，还应当让学生再反过来感悟“抽象出来的数与数量是有联系的”。比如，同样是“50”这个抽象了的数，但50粒绿豆和50头牛给人的现实感觉是大不一样的。再比如，去市场买菜，带50元钱就足够了，但是购买汽车，只有50元是远远不够的。所以，在现实生活中，人们需要感悟数与现实背景之间的联系，从而感悟并判断在日常生活和科学研究中数所提供的信息。

其次，学生对于运算结果也应当有一定的感悟或者说直觉判断，比如，应当能够直觉判断15÷3比15÷2大还是小，3/5加上1/2比1大還是小。

如果有了这样的感悟，学生就可以在现实世界中比较合理地把握数以及数的运算了。比如，合理地估计一筐鸡蛋的数量，数学书封面的周长，能知道50人大约有多少，300人需要多大场地，1000人呢？这期间就涉及到对数量单位（量纲）的认识。也就是要让学生明白，在思考的同时，是需要根据问题背景的不同而选择不同的量纲的。比如，越野赛合适的计时单位是小时，800米中跑，合适的计时单位是分钟，50米短跑合适的计时单位是秒。

通过以上思考，我们要更加认识到人的感觉是依赖背景的，只有“全面”地把握事物的背景，才能深刻理解事物。

第二句，所有混合运算都是在讲述两个或两个以上的故事。

数感除了表示数与数量、运算结果的估计等方面的感悟，还表示对数量关系的感悟。如何能对数量关系有感悟？还要进行深度联系，就是及时回归现实背景。

在混合运算中，关于运算次序有两个基本法则：有括号先计算括号中的算式，没有括号，先乘除后加减。显然，这两个基本法则就是一种规定。课上为什么要有这样的规定？这样的规定合理吗？如果这样的规定是合理的，合理性又表现在哪里呢？为了说明它的合理性，就必须回到现实世界。

在三年级第一单元“混合运算”的教学中，第一课时教学的是乘加乘减，课后练习却有了加减混合运算，大部分学生都是按照运算顺序在完成，先算100-75，然后用100-75的差再加上25。

对于高年级学生来说，减号在前加括号要变号，教起来都是十分困难的，学生到了后来总是分不清什么时候括号里要变号。那么一个三年级的学生，他怎么可能明白这道题的解题思路呢？所以在判他作业的同时，我先没有打√，在旁边标注了一句话：你能讲出道理吗？课下这位学生从头至尾地把他的思考过程讲了出来：

“其实这道题可以把它看作人们上下车。我觉得有两种方法。第一种就是先减去下车的人数，得出现在车上的人数，然后用现在车上的人数加上新上来的人，就是现在车上共有的人数;第二种方法，其实我们在以前是学过的，下去75人，上来25人，互相抵消以后，其实比原来少了50人，用原来的人数减去少了的50人，就是现在车上的人数。”

在学生眼里直接联系到乘车的现实背景，感到这道题就是在讲两个故事。当我们把孤零零的算式看作数学故事的时候，不仅培养了他们的数感，更重要的是有助于培养学生认识和解释现实事物的能力，这就是着眼于数学素养的教育。

第三句，数学模型就是用数学的语言讲述现实中的故事。

“数学课程标准”中强调模型的现实性，是用数学的语言讲述现实世界中的故事;强调在建立模型的过程中，让学生感悟如何用数学的语言和方法描述一类现实生活中的问题。

模型就是“桥梁”，连通数学与现实世界的纽带。它有别于数学算式，它是能够用来解决一类具有实际背景问题的数学方法。这样看来，模型的关键不是看数学表达的完美性，而是在于它是否参与了与现实世界的对话，主要体现在以下三个方面。

1.把握现实世界中一类问题的本质与规律，构建模型。

在谈到模型时，史宁中教授说，在小学阶段的数学教学中，至少需要考虑两个模型：一个是总量模型，一个是路程模型。他谈到的两个模型时，把它们归结到“一类问题的本质与规律”，即指那些在知识结构中，最关键、最具有普遍意义和适应性（概括性）最强的概念。例如，“和”的概念、“同样多”的概念、“数位”和“计数单位”的概念等等。这几年我一直在做的一件事就是根据知识的内在联系和儿童智力发展的规律，突出教材中那些最基本的概念、法则和原理，并以此为中心，从纵横两个方面进行重新调整和组合，把有联系的知识串联在一起，做到有纲有目，使之成为一个新的比较好的知识结构。

2.用恰当的数学语言描述问题的本质与规律，构建模型。

“和”，就是史宁中教授谈到的总量模型。马芯兰老师也说：“对于一年级学生来说，教好这本书就是要紧紧地抓住一个本质——‘和的概念;一个关系——‘部分与整体的关系。”谈到“和”，会想到加法，就是把两个数（或几个数）合并成一个数的运算，现实生活中有很多原型，如合并、移入、增加等等。例如，在加法教学中，引导学生这样表述，一部分有3只熊猫，另一部分有2只熊猫，请问合起来一共有几只熊猫？当学生把具体事物按情节理解为“两部分”以后，就能很自然地向认识“和”的概念迈出关键一步。通过弄懂“两部分”，开始为“和”的概念与部分整体关系的相互渗透，在认识上做好充分的准备。

在“移入”加法学习后，当学生初步理解了“一部分”与“另一部分”含义的基础上，把一年级下册的教学内容“加法各部分的名称”前移到这里。整合到这里的原因是什么呢？一是部分孩子已经有了学龄前基础，课上总往出“扔”这些字眼，但是他们其实不清楚这些名称的真实含义;二是如果单独出现加数、加数、和，就只能把“和”理解为一般名词术语。现在它与“部分”、“部分”、“整体”同时出现，实质上已经不再把“和”作为一般名词术语，而是把它作为重要的概念。从一开始就把加数与和的关系，同部分与整体关系紧紧联系在一起，把“加数”理解为一部分，或另一部分，把“和”理解为一个整体。这样就可以借助学生熟悉的生活经验，理解抽象的数学概念了。

3.用合適的数学符号表达问题的本质与规律，构建模型。

重视“问题本质与规律”的教学，直接解决的就是孩子们长期不易理解的难点：求部分的加法，求部分的减法。

在教学减法的时候，引领学生灵活使用模型，讲讲总量即整体的故事，把加法运算变为减法运算。比如上面的故事，一年级孩子搞不懂怎么列算式，原来有8只企鹅，跳进海里一些，剩下2只，请问跳进海里多少只？因为数字小，学生直接列出8-6=2，顺向思维的结果。那么还可以怎么做？要为进一步培养算术思维做准备。用总数减去剩下的就是跳进了海里的。学生刚开始怎么也理解不了，如果我们借用“和”的概念讲故事，就容易得多了。其实这就是方程思想，简单的数字学生可以用“接着数”的方法解决，可是数字变大的时候，再到后来变成分数的时候，他们则手足无措，究其原因是在低年级的时候，问题的本质和规律没把握好。如果他们把“和”理解为部分、部分、整体的关系，那么一看到这个数学问题就自然连接“总量模型”，问部分，用整体减去其中的一部分，就等于另一部分。即▲+■=●，那么▲=●-■，■=●-▲，当学生用图形符号来刻画“总量模型”的时候，模型思想就在悄然形成。重视“本质与规律”的教学，通过“和”的概念及部分与整体关系的相互渗透，突出“和”在教材结构中的中心地位，有利于帮助学生了解知识间的联系，使联系紧密的数学结构变得可视，最终得到刻画一类事物的模型。

人们把现实世界中与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学的研究对象，然后从数学的研究对象出发，联系现实背景，得到研究对象的性质以及描述研究对象的关系和计算结果，从而促进了数学内部的发展，最后通过模型，用数学的语言、符号和方法，描述现实世界的故事，从而构建起数学与现实的桥梁。

讲故事，就是为了更好的促进数学内部发展，也许这就是许多学者说的：数学是一门关于模式的科学，终究解决的是一类数学问题。那么，想把这个数学问题解决好，可以从故事讲起。