至理数学：一种坚守学科与儿童立场的教学主张*

张明红

笔者是一名小学数学教师，“至理数学”是我倡导和实践的教学主张。“至”本义是“到”，引申为“抵达”；“理”本义指物质本身的纹路、层次，客观事物本身的次序，事物的规律，引申为道理、理解、理性；“至理数学”是指数学教学要从学科、儿童和教育的立场出发，通过追寻数学背后的“道理”，促进儿童对数学的“理解”，进而培养儿童的“理性”思维和精神。［1］本文拟从教学主张的孕育形成、理论基础和实践架构三个方面对“至理数学”进行阐释。

一、“至理数学”教学主张的孕育形成

1.关键事件的检视。

笔者多年前曾执教公开课《乘加、乘减混合运算》，因为在新课教学时没有及时组织学生讨论为什么要“先算乘法，后算加减”，导致即将下课还有学生对于“3+5×4”这样的算式，仍然按照以前学习过的同级混合运算中“从左到右、依次计算”的运算顺序进行计算，甚至有学生反问：“为什么要先算乘法、后算加减？我觉得先算加法也可以啊！”面对学生的质疑和坚持，我只能勉强作答：“乘除法是二级运算，加减法是一级运算。先算高级、后算低级，这是数学上的规定！”这次尴尬的公开课给我带来极大的震动：一是以己昏昏焉能使人昭昭？二是数学教学必须关注本质，师生皆应追求“知其然更要知其所以然”！自此，我在备课时不仅注重研读教材，更注重挖掘隐藏在知识背后的本质；在施教时不仅注重抓核心、拎重点，更注重让学生通过自主学习深化理解。这些都可视为“至理数学”教学主张的基础和萌芽。

2.教学现场的研究。

在一线任教23 年后，我调入区教师发展中心，教研员身份让我有了更多的教学研究时间和进入课堂听课的机会。随着教学研究和课堂观察的不断深入，我发现当下的小学数学课堂教学中“学科本质缺失”“生本意识淡漠”“学习研究浮浅”等问题依然严重，很多教师只会就教材教教材，缺乏对文本的深度解读，缺乏对学科育人目标和学生自主发展的整体观照，这些问题不仅致使课堂效率低下，学生的数学素养更是无法获得有效提升。

3.名师工作室的催化。

“至理数学”教学主张的提炼和形成最终得益于名师工作室的建立。根据区名师培养工程要求，我成立了名师工作室，带领学科教师共同成长。作为特级教师，要发挥辐射、引领作用，必须要有属于自己的鲜明、独特的教学主张。［2］在汲取其他名师提炼教学主张的经验基础上，我结合个人的教学实践和教学风格，从课堂教学的要素与学科教育的内核入手，提炼出“至理数学”这一教学主张，并以此为工作室的“名片”，引领区域教师构建能够彰显知识本质和学科育人方向的数学课堂。

二、“至理数学”教学主张的理论基础

1.儿童学习的本质。

皮亚杰指出，儿童的认知很难从外部形成，只能以本身的发展来决定，儿童学习的主动性在其认知或智力发展过程中意义非凡。研究表明，只有自我发现的知识或技能才能积极、主动地进行同化，否则难以产生深刻印象。求知欲、好奇心是儿童永恒的、不可改变的天性，每一个儿童的内心都希望自己是一个发现者、研究者、探索者。“至理数学”正是从儿童的学习本质和心理特征出发，努力探寻助力儿童自主发展的有效路径。

2.教育教学的规律。

从教育学的角度来看，教学活动是以课程内容为中介的师生双方积极参与、交往互动、共同发展的过程，学生是学习活动的主人，教师是有效学习的策划者、组织者、指导者、参与者。数学教学要尊重教育教学规律和学生认知特点，通过师生互动、生生互动等多种交流、分享形式实现教学相长。“至理数学”认为教学不仅仅是“传道、授业、解惑”的方式，更是一种弥漫在师生之间的教育情境和精神氛围。

3.知识建构的特点。

荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔反复强调，儿童学习数学最正确、最自然、最有效的方法就是再创造，《义务教育数学课程标准（2011 年版）》也指出，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。在学习过程中，教师不要过多介入和干预，更不能强行灌输、让儿童囫囵吞枣，教师的任务是帮助儿童实现再创造，引导他们用科学家探索知识的方法，亲历研究过程，自主发现或创造出要学的知识。“至理数学”着力打造“生为本、理为魂、研为径、思为核”的数学课堂，就是要让儿童通过再创造去经历和品味知识的建构过程。

4.数学教育的价值。

教育的意义在于促进生命成长，任何一门学科都应具有育人的功能，数学学科启人心智，理应肩负起教人求真、提升素养之责任。在这一理念关照下，“至理数学”提出数学教学要以思维发展为核心，不仅要引导儿童学会数学的核心内容，形成相对完整的认知结构体系，还要努力提升其数学素养、个性品质和数学观念。

上述理论观点不仅让“至理数学”教学主张有据可依，也让该教学主张具有了区别于其他教学主张的鲜明特质：

第一，儿童是主人。好奇、好玩、好探索的天性让儿童在面对新事物或新问题时，总喜欢尝试用自己的方式去琢磨其背后的秘密。“至理数学”鼓励儿童从自身的需要出发，调用已有经验和知识储备自主分析问题、解决问题，儿童是学习的主人，就是要让儿童充分行使学习自主权，真正站在课堂中央。

第二，本质是灵魂。“至理数学”强调数学学习要回归三个本质，即知识建构中“明理为根本”、数学理解中“儿童为主人”、数学教育中“思维为核心”，有意义的数学学习不仅需要儿童习得知识、内化理解，还要能通过自主研究弄清楚知识的来龙去脉，更需要儿童学会用数学眼光理性地观察、用数学思维理智地思考、用数学语言有序地表达。

第三，研究是路径。心理学研究表明，儿童学习的积极性、主动性往往来自一个个充满疑问的新事物或充满挑战的新任务，因此“至理数学”以“问题引领、任务驱动、自主研究”为儿童学习的主要形式。有效的研究活动，真实的学习体验有利于发现和感悟数学知识的来龙去脉，更有利于儿童对自己所学给予认同和信服。

第四，育人是方向。教育的根本任务是育人。小学数学学习不仅需要儿童掌握诸多的数学概念与结论，还需要其领会数学学科的精神实质和思想方法。“至理数学”背景下的数学学习，就是要培养儿童思维清晰、条理分明的品质，形成认真细致、科学严谨的作风；“至理数学”观照下的儿童不仅是理性精神的文化传承者，更要成为具有求实、探索、创新特质的全面发展的人。

三、“至理数学”教学主张的实践架构

基于上述“至理数学”教学主张内涵的诠释，我尝试从三个维度对其进行实践架构：

（一）追本溯源，解读数学知识原味

当下，数学教学多以情境引入，虽激趣效果尚可，但知识本质却较少触及，教材中许多概念、结论的教学仍以告知为主，儿童很难感受其产生、形成和应用背后的道理。如能帮助儿童通过亲身体验自主解读出数学知识的原味，无疑是一种真正的深度理解。

1.活动感悟，明晰产生之理。

数学知识的产生建立在前人及学者的经验积累之上，是生活及数学活动的产物。“至理数学”要求教师能依据学习内容和儿童的已有经验、知识背景，设计形式多样的学习活动，让学生在活动中体验、感悟、明晰知识产生的道理。例如，《认识毫米》一课，很多教师认为儿童已经具备了米、厘米的知识储备和相关学习经验，毫米不用多教学生也能领会。然而现实情况往往是，课到结束，很多学生还是不明白为什么要学习毫米，更无法形成1 毫米的理解。为了帮助儿童感受毫米的价值和意义，可以设计这样的活动：自由选择长度为1 米或1 厘米长的空白尺去测量数学书的厚度。通过实践，儿童发现“1米尺”太大不合适，“1 厘米尺”虽然接近但无法得到准确数量，由此产生将“1 厘米尺”继续划分的需要，此活动不仅让儿童感受到数学知识产生有理，也利于形成关于1 毫米的认知。

2.经历抽象，领悟形成之理。

抽象是数学最基本的特征。6～12 岁的儿童思维正处于从具体形象到抽象逻辑的过渡阶段，对于一些抽象的概念、法则往往难以理解。“至理数学”需要儿童亲身经历知识的形成过程，让学习经验不断地“数学化”，进而抽象形成数学知识。例如，教学《长方体的体积》，多数教师都是围绕着体积公式展开，儿童容易记忆公式，也能根据公式计算，但课后访谈“长方体的体积为什么要用长×宽×高”“长、宽、高是长度，相乘之后为什么会变成体积”，儿童则困惑难解，究其缘由就是对体积公式的形成之理不懂。教学中，可以先让儿童用若干个小正方体自由拼组长方体，并观察所组长方体的长、宽、高与所用小正方体个数之间的关系，再让学生根据长方体的长、宽、高想象出所用小正方体个数，这样的抽象过程能有效帮助儿童领悟长方体体积公式的本质。

3.凸显价值，感受应用之理。

数学源于生活，用于生活。“数学很有用”是数学的最大魅力。“至理数学”不仅需要儿童通过多种方式自主习得程序性知识，还需要他们能把这些程序性知识应用到生活中，尝试把现实问题“数学化”，从中感受数学知识的应用之理。例如，学习完圆柱相关知识后，教师问：“为什么生活中茶叶筒大多做成圆柱形？”最初儿童可能会从方便手拿、美观、摩擦小等角度去思考，但深入研究后却发现真正原因是圆柱形茶叶筒不仅容量大，而且节省材料，其应用原理为“周长相等的情况下，圆的面积最大”。该研究巧妙地把课内知识延伸到课外，有助于儿童从数学的角度、用数学的方法去理解生活、解释生活，从而领悟到学习数学有意义、有价值。

（二）探本寻源，体验数学学习原态

“至理数学”需要儿童在一定的情境中，借助已有知识和经验主动建构新知，它以儿童自主研究为学习路径，教师要善于根据学习内容设计核心问题或研究任务，以激发儿童研究欲望，提升研究品质。

1.创设情境，营造研究氛围。

情境是儿童自主研究的催化因子，情境创设既要符合儿童经验，更要蕴含数学本质。例如，学习《圆的认识》时可以这样创设情境：“芳芳家离学校1 千米，如果用‘·’表示学校的位置，芳芳家的位置可能在哪里？试着画一画、找一找。”此情境贴近儿童生活，有趣味、有挑战，更巧妙地蕴含了圆的知识本质：圆就是到定点的距离等于定长的点的轨迹，即一中同长也。

2.问题引领，提升研究品质。

问题是实现自主研究的“脚手架”。“至理数学”要求教师精心设计能引领儿童自主研究的好问题、大问题、核心问题，好的问题应具有挑战性，要能引起儿童的深度思考并提升研究品质。例如，特级教师罗明亮执教《探究2、3、5 倍数特征的道理》，当已有经验“判断2、3、5 倍数的方法”被唤醒之后，罗老师抛出两个问题：为什么判断一个数是不是2 或5 的倍数，只需要看个位数？为什么判断一个数是不是3 的倍数，要看各位上数的和？这两个问题看似无关，其实解决原理完全一致——都是先借助位制和位值的知识对数进行拆分，再用倍数的具体含义加以解释，即一个数如果2 个2 个（3 个3 个或5个5 个）地分，刚好分完，这个数就是2（3 或5）的倍数。这两个问题看似简单，其实思维含量极高且研究价值极大，因为在其导引下，“弃3 法”“弃9 法”可以变得轻松自在、水到渠成。

3.任务驱动，激发研究自信。

“任务驱动”是建立在建构主义学习理论基础上的教学法，它要求学习活动围绕任务展开。在完成任务的过程中，儿童会不断地获得成就感，并不断激起更大的求知欲望，进而形成一种心智活动的良性循环。

例如，一位教师执教苏教版教材《数据的收集与整理（一）》，呈现主题图后，布置任务：画画回答“图上有哪些人，各有几人”。因为画画是儿童喜欢的事，所以做起来兴趣盎然；因为画画能力有限，所以5 分钟后无一人画完。面对挫折，学生七嘴八舌，讨论出对策，拾笔再画。伴随着三次画图经历，学生经历了三次思维冲击，就在这三起三落中，“简化”思想应运而生，“分类”思想主动出场，“整理”思想自然形成！纵观整节课，儿童学习情绪高昂，其研究能力和研究自信也得以不断提升。

（三）返本归元，深化理性思维原质

1.提升思维品质。

思维的品质是数学思维研究的重要内涵，数学学习对于提高人的思维品质，特别是增强思维的深刻性、清晰性、严密性、灵活性、综合性和创新性等，具有非常重要的作用。例如在认识了四边形后，出示信封让学生自由猜测里面装的可能是什么图形，接着露出一个直角让学生再次猜测。两次猜测给儿童提供了丰富的思考与推理的空间，儿童从泛泛地猜到根据直角推理再到要求教师补充信息，从而完成精准判断。这种不断深入的思维冲击，不仅有利于从本质上理解长方形、正方形、平行四边形、梯形之间的关系，更能引导儿童学会有理有据地质疑和求证，进而使思维走向深刻。

2.内化思想方法。

数学思想是对数学规律的理性认识，通过数学学习形成一定的数学思想方法是数学课程实施的重要目的之一。小学阶段最基本的数学思想和数学思想方法包括分类与抽象、类比与归纳、形象思维与数形结合、多元化与优化思想、建模与数学化思想等，［3］这些思想方法一般不会以理论的形式独立存在，往往隐藏在与之相关的数学知识中，例如数据的收集与整理中的分类思想、方程中的建模思想、画图解决问题中的数形结合思想等，教师要善于挖掘并充分发挥它们的纽带作用，促进知识向能力的转化，帮助儿童深化数学理解，内化思想方法。

3.丰富认知方式。

数学学习是思维发生、发展的过程，数学教学不仅要让儿童学会数学思维，还要能够通过数学学会思维。例如教学“进水管出水管”问题：单开进水管6 小时可以把空池注满，单开出水管8 小时可以放完，若两管齐开，几小时可以把空池注满？很多人觉得此题毫无意义，甚至是编题者的故意刁难。其实此类问题在生活中应用十分广泛，如展览馆参观控制客流量问题、大型水库的蓄水和开闸问题、公交车的安排问题、银行柜台的时段安排问题等等。教学时可以采用小课题研究的方式，鼓励学生选择上述话题做深入调研，在具备了一定的知识背景后，学生不仅会明白这些生活现象的原型就是数学上的“进水管出水管”问题，而且能促使“数学研究的思想方法”成为日常学习和生活的常态与自觉。

总之，“至理数学”教学主张的提出，是数学知识建构的需要，是儿童学习“主体意识”的觉醒，更是数学教育本质的回归。“至理数学”观照下的数学课堂崇尚本真、原味，如果教师能深刻理解和积极践行这一理念，相信必然能重构一个知识本质、儿童本体、教育本性有机地融合的数学课堂。