问题导向，关注过程，引领思维，启迪智慧——提高初中数学例题教学有效性的探索与思考

☉江苏省张家港市塘市初级中学 朱 薇

例题是把知识、技能、思想和方法联系起来的一条纽带，知识的价值、技能的操作、思想与方法的渗透都要通过例题来体现.例题的选择非常重要，作为一个静态的“媒介”，要具备良好的知识性、示范性和发展性.好的例题，不仅可以帮助学生加深对定义、定理、概念、法则的理解，培养学生的解题技能、积累解题经验，而且可以加强学生的思维训练，提高学生分析问题和解决问题的能力.例题的讲解与示范是教学中传授知识、培养技能必不可少的一个环节，是学生理解、掌握数学知识，运用数学知识解决问题的必要过程，是学生将数学知识和技能转化为能力的必要途径.因此，例题教学是数学课堂教学的重要组成部分，肩负着把知识转化为能力的重要使命，其质量的高低直接影响学生对数学知识的掌握.科学、合理地选择数学例题，并在教学过程中，让学生获得系统的数学知识，形成必要的解题技能，是数学备课过程中一项十分重要的工作，是一个教师教学智慧和艺术的重要体现.下面就本人执教的“三角形的中位线”一课的例题教学环节，谈一些例题教学的做法与感悟.

一、设置理解知识的基础训练问题，夯实“双基”，有效进行知识同化，体现例题教学的示范功能

认知心理学认为，新知识的学习必须建立在旧知识的基础上，当学习者的认知结构中形成了新的概念、学习了新的知识以后，新知识和旧知识必须予以同化，这样不仅能够帮助学习者学习新知识，而且可以帮助其保持知识.数学概念、知识、方法都需要通过例题加以巩固，选择合适的例题对于课堂教学来说是非常重要的.正确发挥例题的示范功能，能使学生的思维能力、解题能力得到很好的锻炼，从而能从容地面对以后学习中所遇到的各种数学问题.因此，例题的难度必须要控制好，能说明问题、起到示范作用就行.在“三角形的中位线”一课的教学中，我设置了如下一组简单的基础问题，引导学生正确、合理地应用三角形的中位线定理解决数学问题，加强新知识和旧知识之间的联系.

例1（1）如图1，在△ABC中，已知D、E分别为边AB、AC的中点，连接DE，若∠C=70°，DE=3cm，则∠AED=______°，BC=______cm.

（2）如图2，在△ABC中，已知D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接DE、EF、DF.

①图中共有几个平行四边形？

②若△ABC的面积为8，则△DEF的面积为______.

图1

图2

在几何例题教学中，教师要不断引导学生读图、识图、分析图形，学会从图形中捕捉信息、加工信息、寻找到解决问题的关键点，同时要引导学生及时进行归纳、总结，积累数学活动经验和解题经验.只有这样，才能充分体现学生的主体地位、教师的主导作用.在本例中，通过问题（1）的训练，让学生进一步熟悉定理、感知定理的简单应用，理清定理的条件、结论之间的关系和定理适用的范围；通过问题（2）的解答和教师的追问，让学生能进一步发现：①一个三角形有三条中位线，②三角形的三条中位线将三角形分成四个全等的三角形，其中还蕴含着三个平行四边形.通过例题的示范，我们要力争做到：第一，能够将学生的注意力集中在新知识的重点部分；第二，突出强调新知识与已有知识的关系，为新知识提供一种框架；第三，能够帮助学生回忆起与新知识相关的已有知识，以便更好地建立联系.

二、设置巩固知识的简单应用问题，启思明理，有效实现知识内化，突出例题教学的知识功能

例题教学的知识功能指的是通过例题教学使学生获得系统的数学基础知识，形成必要的技能.数学思维过程也就是不断地提出问题和解决问题的过程.因此，教师不但要精心挑选例题，使其具有典型性、层次性和示范性，更要善于对例题加以剖析、变式，必要时还可以适当地将例题进行拓宽、延伸，促进学生对概念的内涵与外延的理解，通过充分的外化过程，实现数学知识的内化，充分发挥例题的知识功能，使其真正达到既落实“双基”，又培养能力的教学效果.为此，我设置了如下例题：

例2如图3，已知AF是△ABC的中线，DE是中位线，DE、AF交于G，若AF=5，则GF=______.

教材是重要知识点的精华与浓缩，往往言简意赅，或者限于篇幅，有些知识、方法未能加以阐释，常常出现在练习、习题之中，教师作为教材与学生之间的协调者，有必要对简约的内容进行补充与拓展，加强前后知识的联系，及时渗透数学思想方法.本例是例1问题（2）的应用与深化，连接DF、EF，四边形DAEF是平行四边形，因此，DE与AF互相平分，问题的结果自然显现.同时，我们可以告诉学生：三角形的中位线与第三边上的中线互相平分.通过例题的讲解与思辩，不仅可以帮助学生加深对知识的理解，培养学生的解题技巧，还可以让学生启思明理，拓宽视野，有效实现知识内化，突出例题教学的知识功能.

图3

三、设置拓宽知识的变式训练问题，引领思维，有效积累活动经验，凸显例题教学的教育功能

例题教学的教育功能指的是对学生文化素质的培养，其中重要的是培养学生的思维品质.由于数学问题是数学思维的动力，数学思维过程也就是不断地提出问题和解决问题的过程.因此，在例题教学中，教师不但要精心挑选例题，使其具有知识性、典型性、层次性和示范性，更要善于对例题加以变式，让学生在全面、深刻地理解和掌握知识的同时，思维品质也得到相应的提升.几何教学中，教师更应该做好例题变式教学，为此，我给出了如下问题：

例3如图4，在△ABC中，已知D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，G、H分别为AD、AF的中点.若△AGH的周长为m，求△BDE的周长.

图4

例3是例1第（2）问的变式，如果连接DF，就会出现例1（2）的图形，利用三角形中位线定理，我们知道：若△AGH的周长为m，那么，△ADF的周长为2m；利用四边形ADEF和四边形BEFD都是平行四边形，那么，△BDE的周长=△FDE的周长=△ADF的周长=2m.通过这样的教与学，学生对图形的认识会更加清晰，对知识的理解会更加深刻，对解题方法的掌握会更加牢固，对几何推理的书写会更加熟悉、规范.变式既是一种重要的思想方法，又是一种行之有效的教学方式.通过变式教学，有利于培养学生研究问题、探索问题的能力，帮助学生积累探究活动的经验，是思维训练和能力培养的重要途径.

四、设置深化知识的综合应用问题，启迪智慧，有效提升关键能力，彰显例题教学的拓展功能

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要.使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.”因此，当学生对知识和技能初步理解与掌握后，教师应当设置一些深化知识的综合应用问题，加强前后知识的联系，让学生进一步巩固所学知识，消化吸收知识.例题教学中，例题拓展得恰当、设计得巧妙，对于提高课堂教学效率，优化课堂教学结构，往往能起到画龙点睛的作用，也能为不同的学生留下个性化的发展机会，让学有余力的学生有更大的发展空间.强化拓展问题的讲解与思辩，目的是帮助学生把所学的知识融会贯通，在知识的深化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣，启迪智慧，提升关键能力，彰显例题教学的拓展功能.在本课例题教学的最后一个环节，我出示了下面一题：

例4如图5，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形：

（2）若四边形ABCD的对角线相等，那么四边形EFGH是什么图形？

（3）若四边形EFGH是正方形，那么四边形ABCD应满足什么条件？

本例的第（1）问是课本例题，连接对角线BD或AC，利用三角形中位线定理很容易加以证明，主要是引导学生学会构造图形、合理使用定理.第（2）问和第（3）问结合四边形的相关知识，对问题进行了适度的拓宽引申，将三角形中位线的知识与四边形的判定与性质进行了很好的衔接，让学生对三角形中位线定理的应用有了一个更加深刻的认识.苏联教育家乌申斯基指出“智慧不是别的，而是组织良好的知识体系”.通过这样的数学探究活动，数学知识之间能有机联系起来，学生的头脑中才会建立起一个完整的认知结构，逐步形成一个完整的知识网络，这样的例题教学才能扎实、有效.

图5

实践证明，加强和改进数学例题的教学，对理解和掌握基础知识、培养数学思维、发展智力都是至关重要的.因此，我们在例题教学中，一方面，要充分利用好教材上的例题，教材中例题都是经过多次筛选编制而成的；另一方面，我们要适当选择一些课外资料上的问题，作为教材例题的补充与延伸.还要配备好相应的学生练习，让学生在动手实践中学会应用例题知识，使得例题与习题紧密联系在一起，让例题的教学功能得到充分发挥、起到应有的作用，引领学生的思维，启迪学生的智慧.