尺规“三等分线段”集观

☉中国农业大学烟台研究院 邢恩臻

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图.尺规作图是起源于古希腊的数学课题，只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.这类作图在现行数学课本中已经淡化，有很多经典的作图退出了历史的舞台，相反，工具作图得到了前所未有的推崇，当然这是与时俱进的调适，我们绝无反对之意，但尺规作图是不是就应该大量地削减？是不是没有太大存在的必要了呢？

文［1］认为：首先，尺规作图和图形运动有密切的联系，《标准》强调图形的运动，包括平移、旋转、对称等变换，尺规作图是实现图形运动的极佳手段；其次，尺规作图是一种学生实际执行的操作，具有不可替代的直观性；再次，尺规作图是问题解决不可分割的一部分.

文［2］认为：其一，通过作图，学生可以把头脑中零散的概念和几何事实具体化、综合化，从而更深刻地领会定理的真谛；其二，尺规作图是其他复杂作图的基础，只有在尺规作图上训练有素，才有可能掌握其他复杂的作图方法；其三，尺规作图要求学生按照步骤，一步步地去完成，训练了学生严密的逻辑思维能力及严谨的工作态度，这就是新课程所强调的，使学生获得数学理解的同时，在思维能力、情感态度等方面得到进步和发展.

两类观点纵然不完全一致，但它们共同透射出尺规作图在教学实践中仍然有很重要的现实意义，尤其是尺规作图本身的约束力，自然增强了智能挑战性，它是体验运动、统摄知识、历练学生思维非常有价值的举措.

下面就对原有的一个退出尺规作图要求的三等分线段问题，做一规整，把散乱的作法重新捡拾起来，希望能引起各位同仁更多的思考.

作图：把已知线段AB三等分.

一、教材之法（借力相似）

作法：如图1.

（1）作直线AP；

（2）以A点为圆心，适当长为半径画弧，交AP于C点；

图1

（3）以C点为圆心，AC长为半径画弧，交AP于D点；

（4）以D点为圆心，CD长为半径画弧，交AP于E点；

（5）连接BE；

（6）过D点作BE的平行线，交AB于M点；

（7）过C点作BE的平行线，交AB于N点.

则M、N把线段AB分成三等份.

简证：利用平行线等分线段定理得知：

AN∶NM∶MB=AC∶CD∶DE=1∶1∶1.

变式之法1：如图2.

（1）过已知线段AB的端点A与B作一组不与AB重合的平行线m与n；

（2）在m上截取线段BC；

（3）在AB与C的异侧直线n上，截取AD=2BC；

（4）连接CD，交AB于点O，则点O即为线段AB的一个三等分点；

（5）然后作AO的中垂线得AO的中点P.

证明：类似于上一证明，在此从略.

变式之法2：如图3.

（1）以AB为边作一个任意△ABC；

（2）取BC的中点D，连接AD；

（3）取AD的中点O，连接CO并延长与AB相交于点E；

（4）取BE的中点F.

则E、F就是AB的三等分点.

简证：如图3，由作图可知DF为三角形CBE的中位线，即DF∥OE，则△AOE △ADF，所以AO∶AD=AE∶AF.又O为AD的中点，即AO∶AD=1∶2，可知AE∶AF=1∶2，显然AE=EF.又EF=FB，故AE=EF=FB.得证.

以上方法的理论依据是共性的相似或平行线截线段成比例的知识，属于在教材中被淡化的部分.

图2

图3

二、借力重心

我们知道三角形的三条中线交于一点，这一点称为重心，而重心有一个非常重要的性质，即把中线分成1比2的两部分，这一性质为作三等分线提供了思路.

（1）如图4，作线段AB；

（2）作线段MN使A为MN的中点，连接BM、BN；

（3）找出BM的中点E，连接NE交AB于G；

（4）找出GB的中点K.

则G、K将线段AB三等分.

简证：直接根据三角形重心的性质可知：BG∶AG=2∶1.又K为GB的中点，故有AG=GK=KB.得证.

图4

图5

三、借力等边三角形

作法1：如图5.

（1）以AB为边作等边△ABC；

（2）分别作角A、B的角平分线，两线交于点O；

（3）分别作AO、BO的中垂线MP、NQ，依次交AB于点M、点N.

则点M、N即为AB的三等分点.

简证：连接OM、ON，不难证明△OMN为正三角形，即OM=MN=ON，另根据中垂线的性质有OM=AM，ON=NB.所以AM=MN=NB.得证.

作法2：如图6.

（1）以线段AB为边，分别作上、下两个正三角形ABC、ABD；

（2）连接CD，交AB于点O；

（3）分别以点A、点B为圆心，以线段AO的长为半径画弧，在线段AD、BD上分别截取AE=BF=AO；（或者把第（2）步和第（3）步合为分别作AD、BD的中垂线，得其中点E、F）

（4）连接CE和CF，分别交线段AB于点M与点N.

则点M、点N即为线段AB的三等分点.

图6

简证：连接OE，可证OE为三角形ADC的中位线，则有OE∥AC，OE=AC.所以△OEM △ACM，故OM∶AM=OE∶AC=1∶2.同理ON∶NB=1∶2.进一步推知AM=MN=NB.得证.

4.借力塞瓦定理

作法：如图7.

（1）作射线AP；

（2）在射线AP上截取AX1=X1X2=X2X；

（3）连接XB，作XB的中点M，连接AM；

（4）连接BX1、BX2，分别交AM于点M1、M2；

（5）连接并延长XM1、XM2，分别交AB于点B1、B2.

则B1、B2即为AB的三等分点.

证明：根据塞瓦定理

图7

由M为BX的中点，AX1=X1X2=X2X，得

进而得知AB1=B1B2=B2B.

对中学生而言，想到这一方法的难度较大，证明也逾越了现行的课程标准，但摆出来认识一下、探索一番，对培养学生的兴趣及创新思维有很大的正向强化作用.

四、写在最后

尺规三等分线段仅是等分线段中的一族，但它是等分线段一个突出的代表，对这一方法的探研将有效驱动我们动手与动脑的融合，是一种深层次的“做中学”，对几何知识的理解有深化之用，同时，它凸显出的思维张力与艺术魅力，将推动数学爱好者为之探索.诚如文［1］之言：尺规作图是人类理性思维的瑰宝，科学和艺术的完美结晶，体现了“真善美”.