合作中质疑，质疑中生成*——以一道中考试题的讲评为例

☉内江师范学院数学与信息科学学院 刘成龙

☉内江师范学院数学与信息科学学院 胡 丹

☉内江师范学院数学与信息科学学院 杨小兵

学习金字塔理论表明：不同的学习方式得到的学习效果区别很大，位于塔尖的是学生单凭阅读或听老师讲授，效果最差（保持10%）；位于塔基的是学生动手参与和给别人讲授，效果最好（保持90%）.可见，积极主动、合作交流是最有效的学习方式.［1］在教学中如何开展主动、合作的学习方式呢？研究者认为，质疑是一种较好的方式.所谓质疑，是指提出疑题.质疑是思维交流的重要方式，是创造的源泉.通过质疑唤醒固化的思维、闪现智慧的火花，通过思维碰撞、逻辑表达、活动反思，最终达成互识、共识.研究者以一道中考试题为载体，展示学生在合作中质疑、质疑中生成的整个讲评过程.

问题：（2011年湛江中考）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A、D作圆O，使圆心O在AB上，圆O与AB交于点E.

（Ⅰ）求证：直线BD与圆O相切；

（Ⅱ）若AD∶AE=4∶5，BC=6，求圆O的直径.

图1

一、教学实录

片段1：生疑——答案展示，认知冲突

师L：课后作业题（上述问题）第（Ⅰ）问较简单，这里不作分析.请大家展示第（Ⅱ）问的答案.

生2：不对，是5.

……

设置意图：教师L故意设置“结构不良”的问题，有利于驱动课堂的发展：学生解答时产生了不同的答案，而这些答案又是学生经过计算实实在在得到的结果，这让学生产生了疑惑，陷入了愤悱状态，有利于激发指向学习活动本身的内驱力，为下一步问题的探索、操作和掌握做铺垫.

片段2：质疑——各抒己见，暴露思维

师L：能否说说你们的想法？

生6：如图2，连接DE.由题意得∠ADE=∠C=90°，故DE//BC，所以△ADE △ACB.又D为AC的中点，可得DE=BC=3.设AD=4x，则AE=5x，DE=3x，则x=1，AE=5，即圆的直径为5.

师L：生6的做法，大家听懂了吗？

图2

众生：懂了.

师L：说说你的做法.

生7：如图2，连接DO、DE.同生6一样，可求得DE=3.设圆的半径为r，在Rt△ADE中，AD=.因为点D为AC的中点，则AD=DC，AE=EB=2r，故在Rt△DCB中，DB2=DC2+CB2=4r2-9+36=4r2+27.在Rt△ODB中，DB2+OD2=OB2，则4r2+27+r2=9r2，解得，故圆的直径为3.

师L：生7表述清楚，但答案与生6不同，这是为什么呢？

全班同学陷入了思考.

师L：得出其他结果的同学来说说你们的做法.

生8：如图2，由DE//BC，得∠EDB=∠DBC.又∠EDB=∠A，所以∠A=∠DBC，故cos∠A=cos∠DBC，则.又BC=6，解得.又点D为AC的中点，显然DE为Rt△ACB的中位线，则AE=BE.由切割线定理可知：BD2=BE·BA=2AE2，故，即圆的直径为

师L：生8的思路正确、推理严格，所得答案为什么和生6、生7都不一样呢？

全班学生窃窃私语，再一次陷入了思考和讨论中.

生9举手，师L示意生9回答.

师L：答案又不一样了.

师L：5位同学的解答思路、逻辑表达、推理过程都是对的，但得到了5种不同的答案，显然这与答案唯一相矛盾.能否找到原因呢？

学生再一次陷入了思考……

设计意图：《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下文简称《标准》）指出教师是教学活动的组织者、引导者，学生是学习活动的主体.［1］教师应创设民主、和谐的课堂氛围，将时间、空间、话语权留给学生，让学生在交流中引发深入的思考，从而迸发思维的灵感；让学生在表达中训练数学逻辑；让学生在倾听中引发反思，从而不断修正、调整.

片段3：释疑——刨根问底，追本索源

生11：生6的解答中用了“D是AC的中点”和“AD∶AE=4∶5”这两个条件，但生7没有用到AD∶AE=4∶5.

师L：你的意思是AD∶AE=4∶5这一条件多余？

生11：好像是.

生12：但是生10的解答中没有用到“D是AC的中点”这个条件呀.

师L：“D是AC的中点”也多余？这两个条件可以去掉吗？

生13：感觉是多余的，但不能同时去掉.

师L：生8、生9的解答中这两个条件都用了，但解答结果都和生6不一样，这是为什么呢？

生14：难道这是一道错题？

师L：错在哪里？

生14：好像条件“D是AC的中点”和“AD∶AE=4∶5”在打架一样.

师L：打架是什么意思？

生14：感觉不能共存一样.

师L：生14表达的意思在数学中称为条件间不相容：由“D是AC的中点”不能推出“AD∶AE=4∶5”，由“AD∶AE=4∶5”不能推出“D是AC的中点”.

众生：哦.

师L：能否验证生14的猜测？

生15：生10的解答中仅用“AD∶AE=4∶5”，得到DC=，显然AD≠CD，不能推出“D是AC的中点”.

师L：讲得很好，你在已有的成果的基础上说明了“AD∶AE=4∶5”不能推出“D是AC的中点”，大家能说明另一种情形吗？

生16：生7的解答中只用条件“D是AC的中点”，得到DE=3.设圆的半径为r，则AD2=CD2=4r2-9.由切割线定理可知：BD2=BE·BA=8r2，在Rt△DCB中，4r2-9+36=8r2，解得.于是AE=3，AD=3，不能推出“AD∶AE=4∶5”.

师L：生15、生16验证了两个条件不相容，这正是得到不同答案的原因.

设计意图：教师设置了一系列追问，绕过浅层教学，直接进入知识意义系统的深度教学.具体来讲，教师引导学生通过寻找各种解法间的差异与关联，水到渠成地让学生“喊出”试题错误和条件“打架”的猜测，并通过“证明”真切认识两个关键条件的不相容关系，从而消除疑问.

片段4：消疑——优化试题，回归合理

师L：试题中两个关键条件不相容，能优化吗？

生17：去掉“D是AC的中点”.

生18：去掉“AD∶AE=4∶5”.

师L：很好，删掉“AD∶AE=4∶5”和“点D为AC的中点”其中一个条件可以使得试题科学、合理.

师L：删掉“AD∶AE=4∶5”后的试题，答案是多少呢？

师L：对.去掉“点D是AC的中点”呢？

师L：至此，问题得到了优化.

设计意图：通过合作交流，去除“多余条件”让“结构不良”的试题得到优化，生成了新的成果，这有利于加深学生对问题的理解，同时让学生真切感受成功的愉悦感，增强学习数学的成就感和自信心.

二、教学感悟

反思即元认知，是人们以自己的认知活动过程及结果为认识对象的认识活动.弗赖登塔尔曾提出：“反思是重要的数学活动.它是数学活动的核心和动力，是一种积极的思维活动和探索行为，是发现、是再创造”.［2］本案例中，教师L以一道“结构不良”的中考试题为载体，展示了一节别开生面的讲评课.具体来说，教师L设置了生疑、质疑、释疑、消疑四个环节，让学生经历了在合作中质疑、质疑中生成的整个过程.同时，学生在质疑、探索、释疑中真正明白自己所困惑的问题，在自我发现、解决问题的过程中获得“实现自我”的快乐，充分暴露学生的思维历程，展现自己的思维方法.整个讲评过程自然、和谐、民主、有效，引起了研究者深入的思考，以期引起读者的共鸣.

1.教学的有效性

有效教学是指教师在达成教学目标和满足学生发展需要两方面都获得成功或表现俱佳的教学行为.［3］具体来讲，有效教学的根本目的是学生的发展，尤其是思维的发展.本案例中，学生思维品质得到了发展，批判精神得到了锻炼：教学中，信息流向并非传统的讲—练—讲的单一模式，而是在问题驱动、合作互动的多向流动中引发不同思维碰撞、各种视域融合，进而培养思维的灵活性、深刻性和批判性.试想，若教师L在讲评中直接告知学生试题答案、存在的错误及优化方式，这将在学生头脑中留不下任何痕迹，而通过合作、质疑的方式发展了学生的认知和数学思维，堪称高效.

2.教学的艺术性

教学是一门高超的艺术.整个教学中教师L表现出了较为高明的教学艺术.

（1）教师L善于追问.

追问既是学问，也是一门艺术.追问能提升质量，追问能提升品味，追问能开启智慧，追问能掀起课堂的高潮，追问能演绎课堂的精彩.［3］教师L并没有直接告知学生试题是一道错题、错在哪里、怎么纠正，而是通过一系列富有针对性、启发性、聚焦性的追问启发学生思考、推动教学活动有序发展，让学生在合作中、质疑中达成共识.

（2）教师L善于营造民主氛围.

人本主义教学理论认为，良好的师生关系是有效教学的基础.心理学研究表明，在现实的学校生活中，只有民主、公正、理解、爱护、尊重学生的教师，才可能使学生产生学习的热情、克服困难的意志和创造的欲望.［4］教师L充分信任学生、尊重学生，以平等姿态与学生对话，将时间、空间、话语权交给学生，整个过程中，教师就是一个组织者、引导者、研究者、合作者.案例中，学生敢于表达内心所惑、内心所思，表现出了较大的学习热情和创造力，这些均得益于民主的氛围.

3.学生的主体性

《标准》指出：学生是学习的主体.［1］质疑是一种“再创造”的思维活动，需要发挥学习者的主体性、自主性与创造性.［5］在教学中，可以引导学生“三动”来参与质疑活动：

一是行动.所质疑的问题能激发学生的学习动机，引起学生深度参与，使他们深度融入到质疑活动中.案例中的问题“结构不良”，远在学生的意料之外，这有利于调动学习者的学习动机，使他们感受生疑、质疑、释疑、消疑的认知过程.

二是互动.质疑活动强调师生之间的合作、沟通，更强调生生间的合作与对话，在师生对话、生生对话的过程中形成“互识”与“共识”.本案例中，通过合作给出了四种不同的答案，让学生产生了困惑；通过多种方法的梳理，让学生对试题产生了质疑；通过师生合作，达成了条件多余、条件不相容的“共识”；通过师生配合，最终优化了试题.在整个过程中，师生既有行为参与，还有认知参与和情感参与，丰富了思维的内容和方式.

三是心动.质疑的过程是学习者情感、态度、信念、价值赋予的过程.在经历生疑、质疑、释疑、消疑的过程中，使学生产生强烈的冲突感、发现感、成就感与自我存在感、价值感.特别是在释疑、消疑等环节中，学习者不断地感受到新发现、新成果，将质疑活动推向了高潮，极大地发展了他们的问题意识与创新意识.