处理三角恒等变换问题的三个视角
2019-01-12任海涛
中学生数理化·高一版 2019年6期
■任海涛
三角恒等变换是一种重要的数学思想和方法,三角恒等变换在解题中的主要作用是化简和求值。熟练掌握一些三角恒等变换的技巧,可以把复杂的关系用简单的形式表示出来,下面就该类问题进行归纳,供大家学习与参考。
一、运用函数与方程思想,整体代换
例1已知2 sinθ-cosθ=1,求的值。
解:设,则(1-t)sinθ+(1+t)cosθ=t-1,联立2 sinθ-cosθ=1,解得利用sin2θ+cos2θ=1,解得t=0或t=2。
评析:将所求式子设为t,然后看成关于sinθ,cosθ的方程,与已知条件联立,求出sinθ,cosθ的值,再结合同角三角函数的基本关系,建立关于t的方程求值。
二、运用转化与化归思想,巧妙变角
例2已知,则
解:由可得
评析:本题是条件求值问题,所求角是α,已知角是,所求角和已知角之间的关系是利用这种关系,直接转化可求出所求的值。
三、运用换元思想,合理转化
例3已知函数f x()=sinx+cosx+sinxcosx,求f x()的最大值。
解:令则所以故原函数可转化为函数
评析:利用已知条件中的特定关系,把式子sinx+cosx用t表示,实现变量替换,再利用二次函数的单调性求出最大值。
例4已知求证:a2+b2=1。
证明:由已知得1-b2≥0,1-a2≥0,即
设a=cosx,b=cosy,x,y∈ [0,π]。
因为x+y∈[0,2 π],所以
故a2+b2=cos2x+cos2y=cos2x+
评析:由1-b2≥0,1-a2≥0,得这符合三角函数的有界性,故可考虑用三角换元法进行求解。