基于数学欣赏的数学课堂设计——以“分式方程”为例

江苏省太仓市实验中学 江美红

数学是一门美妙的学科，在数学课堂教学过程中，教师如何展现数学美，使学生能够感受和欣赏数学美，值得我们一线教师深思。笔者在一次教学研讨活动中执教一节“分式方程”新授课，本节课着眼于把数学的美学价值和美育功能落实到数学课堂上，以此提高学生学习兴趣，培养学生创造能力。

一、情况分析

1.学情分析

此教学设计面对的学生是本校初二学生，我校学生的基础知识非常扎实，数学能力较好，学习积极性较高，具有一定探索解决问题的能力。

2.教材分析

（1）教材地位：《分式方程》是苏科版第八章《分式》的主要内容之一，是分式的基本概念、基本性质、运算之后的重点内容，也是为后面列分式方程解应用题打下基础。

（2）教学目标：

①知识与技能：理解分式方程的概念、解法、增根的概念及增根产生的原因。

②过程与方法：通过学生亲历知识探索、形成过程，让学生感受方程是描述现实世界的模型，同时发展学生能力。

③情感、态度与价值观：学生在数学活动中运用知识解决问题，通过合作学习增进同学之间的合作，通过体验成功，树立学好数学的自信心。

（3）教学重点：探索解分式方程的基本思路和分式方程的解法。

（4）教学难点：理解分式方程可能产生增根的原因。

二、教学简录

1.创设情境，引入课题

师：同学们，最近天气时阴时雨，大家到校非常辛苦，老师想知道大家早上是怎么到校的？（生答）

师：你们知道老师是怎么到校的吗？（生答）

师：对。老师平时是乘车到校，但今天由于某种原因，老师步行到校。老师的家到学校有2km的路程，老师每天早晨都是7：00从家里出发，今天步行到校比平时乘汽车到校晚了18分钟，通过老师估测，汽车速度是步行速度的10倍，同学们，你能帮老师求出步行的速度吗？（思考片刻）

生：我是用方程思想解决的。设步行的速度为xkm/h，则汽车的速度为10xkm/h，根据步行到校比平时乘汽车到校晚了18分钟，可列出方程：

【设计意图：本节课从实际问题开始，选取简单的生活实例，让学生从实际问题数量关系的探索中，发现一类未知数出现在分母中的新方程——分式方程。学生在欣赏这些问题情境的同时，一方面从中可提炼出数学问题，说明引入分式方程的必要性，另一方面可激发学习兴致，提升学习动力】

2.类比归纳，探究新知

师：我们以前学过哪些方程？

生：学过一元一次方程、二元一次方程。

师：请在黑板上列举一元一次方程和二元一次方程。

生：分母中出现了字母，也就是方程的左边是一个分式，所以它不是整式方程，应该叫分式方程。

师：怎样的方程叫分式方程？

生：分母中含有未知数的方程叫作分式方程。

师：你能再举些分式方程的例子吗？（生答）

师：任意写出几个方程，与同桌合作，找出其中的分式方程。

【设计意图：引导学生分析所列方程的特征，类比一元一次方程、二元一次方程，找出它们的区别与联系，建立分式方程的概念。学生通过尝试、辨析、修正、总结，对分式方程概念的体会更深刻】

3.合作交流，类比探究

师：老师今天步行的速度是多少呢？

生：左边利用通分化为同分母分式，再利用分式减法把原方程化为：利用分式的性质得：10x=60，解得x=6。

生：先去分母，方程两边同时乘以60x得：120-12=18x，解得x=6。

师：你是怎样想到去分母的？

生：去分母可把原方程化为一元一次方程。

师：刚才三种解法有什么共同点吗？

生：都是把分式方程转化为整式方程。

师：解出的x的值，是原方程的解吗？（生答）

师：对比上面三种方法，哪种更简便？（生答）

师：请同学们归纳解法。

生：去分母将分式方程转化为一元一次方程。

【设计意图：给学生充分的探索与交流时间，让学生动手操作、自主探索和合作交流，学生欣赏分式方程的不同解法，发展创造性思维能力，对知识的理解会更加深刻】

4.层层深入，揭示区别

生：我解出方程的解是x=3，但发现当x=3时，原方程的分母为0，无意义了。所以原方程应该是无解的。

生：x=3是去分母后整式方程的解，但它却不是原分式方程的解。

师：对！这样的解叫作原方程的增根。

师：为什么会产生增根呢？解方程时哪个步骤出错了？（思考片刻后）

生：去分母步骤出错，方程两边同乘以x=3，而x=3使得x=3的值为0，即方程两边同时乘以0，所以x=3适合化简后的整式方程，而不适合原方程。

师：对！方程两边同时乘以0，扩大了原方程解的范围，因此会产生增根。所以，解分式方程时，要注意些什么呢？

生：把解得的x的值代入分母的最简公分母中进行检验。

师：对！如果最简公分母的值为0，那么解是原方程的增根，原方程无解；如果最简公分母的值不为0，那么解就是原方程的根。

【设计意图：这是本节课的重要环节，增根是重点，也是难点，在教学时给足学生思考的时间，让学生体会增根产生的原因以及解分式方程检验的必要性】

三、教学反思

1.欣赏数学知识奇异之美

数学中的奇异之美主要是指结果新颖独特、出人意料，引起学生强烈的惊诧。按学生以往的学习习惯，学生很难理解解出的方程的解居然不是原分式方程的解，这个结果是学生意料之外的，增根对学生来说更是新奇的知识，这种数学知识的奇异性很容易激发学生的创造欲望，促使学生进一步思考产生增根的原因以及理解解分式方程的步骤中检验的必要性。探究新知识、新方法、新规律，总能让学生感到奇异的美感，产生惊奇的快感，从而激发学生的学习热情，令学生兴奋，受到吸引。

2.欣赏同伴创造之美

在数学课堂教学中，教师要充分相信学生、依靠学生。案例中，教师不直接给出结果，而是给学生一个想象的空间。学生类比联想一元一次方程的解法，尝试去分母将方程转化为整式方程。但由于方程的特殊性，学生想到利用分式的基本性质转化、通过分式的通分或直接去分母等方法，通过多种方法的交流，拓宽了学生的思维。对于分式方程增根问题，教师更是大胆放手，把时间让给学生，通过小组合作讨论等形式进行合作学习，从而悟出产生增根的原因，突破难点。以探究任务引导学生自学自悟，提供给学生自主合作探究的舞台，在交流中增加学生之间的信任，欣赏同伴意想不到的精彩。