函数思想在高中数学解题中的应用

江苏省南京市文枢高级中学 王婷婷

数学思想方法不仅对学生的数学解题有一定的帮助作用，还有助于教师提升教学效果，数学思想在学生数学学习的过程中，可以将学生所学习的知识转化为实际的数学能力，有利于学生形成严密的数理逻辑思维和良好的认知结构。函数思想作为数学思想中的一类，在高中数学解题中可以将已知的数学条件构建成函数关系，再利用函数关系来解决，对于促进学生数学学习和数学素养的提升具有重要的作用。

一、函数思想

函数反映的是某一个事物随着另一事物的变化而发生变化的规律与关系，由此可见，函数思想体现的是量与量之间的关系，这种关系是动态的，并不是一直保持不变的。因此，我们可以认为函数的本质就是对应，例如函数y=f（x），其中主要的构成要素就是自变量的变化范围与对应法则f，占据主导地位是自变量的变化，函数的值域是由定义域与对应法则共同决定的。

本篇文章所说的函数思想在高中数学解题中的应用，其实就是指将实际的数学问题转变为函数，利用函数来解决实际问题。根据笔者的经验与思考，认为函数思想在高中数学解题过程中的应用主要有以下三种方式：首先是整体法，通过对于需要解决的数学题进行整体结构与整体形式的处理，让所要解决的数学题目变得更加容易理解；其次是归纳假设法，这种方法是我们在解决数学问题中的常用方法，主要是先对数学问题通过归纳猜想法进行观察和尝试，接着利用不完全归纳法对所要解决的数学问题进行归纳假设，最后对其假设进行验证；最后是递推思想法，这种方式指的是对于所要解决的数学问题中的递推关系进行探索、应用和构建，从而协助问题的解决。

二、函数思想在高中数学解题中的应用

利用函数思想解决高中数学中的问题，是目前比较常用的方法，通常会与分类讨论、数形结合以及化归转化的数学思想存在一定的联系。目前，运用函数思想可以解决高中数学中的方程、数列、不等式以及其他问题。本文主要从以下几点浅谈了函数思想在高中数学解题中的应用：

1.函数思想在高中数学不等式的解题中应用

不等式证明在高中数学学习中具有重要的地位，而在解决不等式问题的过程中，应用函数思想，就是对相应函数的零点、正负区间和单调性等实际问题进行研究。所以，在解决不等式问题的时候，利用函数思想可以提升解决问题的效率与准确性。例如，已知：3n+m＜n2+5+nm恒成立，且0≤m≤3，求n的范围。运用函数思想，我们可以将其建立为相应的函数关系：y=（n-1）m+n2-3n+5，不等式就可以转化为y＞0，再加上已知条件0≤m≤3，就可以比较方便地得出n的取值范围。

2.函数思想在高中数学方程解题中的应用

函数方程思想作为数学思想的一种，在解决实际的数学问题过程中也时常被应用。通过研究分析可以发现，在数学领域中，方程与函数的关系通常是比较密切的，方程是函数的重要组成因素，函数包含着方程。所以，运用函数思想是解决高中数学方程问题的重要手段。例如，已知（x-n）（x-m）=6，a和b是方程的两个根，且n＞m，b＞a，求实数n、m、a、b的大小关系，在解决这一问题的时候，我们可以将其转变为两个函数：f（x）=（x-n）（x-m）-6和g（x）=（x-n）（x-m），然后再进行解决，就会使原本比较抽象的数学问题变得简单，解决的效率与准确性也有一定的提升。

3.函数思想在高中数学数列中的应用

数列在高中数学中作为一个比较特殊的函数，可以将它看作一个方程组或者方程，也就是将其当作一个函数解析式。对于数列，我们可以理解为其是通过自变量得到离散数值的一种特殊函数。因此，我们在运用函数思想解决数列问题的时候，需要结合函数的性质与模式，加强对于数列含义、等比数列中的通项和中项以及等差数列的单调性等的理解。例如，在等差数列{bn}中公差d的几何意义就是这个等差数列中，每一个点所在的直线斜率。再比如，在等差数列的求和公式我们在运用函数思想解决这一问题的时候，可以对这个等差数列做出相应的改变，这就可以将这个问题转变为有关于n的二次函数，简化了解决问题的方法，从而有效提高了解决问题的效果。

总而言之，运用函数思想来解决高中数学具有良好的效果，对培养学生的数学思维能力，函数思想在高中数学解题中具有广泛应用，对于激发学生的数学兴趣具有十分重要的作用。在高中数学的解题过程中，利用函数思想可以有效提高解决问题的准确性与速度，有助于提升学生的数学成绩。因此，教师在高中数学教学过程中，应该加强学生数学思想的培养，不仅仅是函数思想，引导学生在解决问题的过程中选择合适的数学思想，从而进一步提升数学知识的应用能力。