运用反证法，构建实效初中数学课堂

江苏省海门市开发区中学 刘 波

反证学习法恰好与学生学习过程中的正向思维方式相反，它是由果推因的一种学习模式，对培养学生逆向思维能力有着很好的推动作用。在数学课堂学习中，教师可以结合具体数学问题，引导学生运用反证法来解决问题，以更好地锻炼学生数学思维，促进学生全面发展。

一、巧用反证法，培养学生数学思维

数学思维博大精深，逆向思维是数学思维的一种，也是初中生必备的一项技能，它需要学生改变自己传统思维模式，更加灵活地思考、探究。作为教师，应注重培养学生的思维能力，让学生能够更好地发展。在数学课堂教学中，教师可以巧妙地设计一些数学问题，让学生能够运用反证法解决问题，进而更好地活跃学生学习思维，促进学生深入思考。

例如：在教学“二次根式”时，教师在引导学生学习了无理数的知识内容后，向学生提出一个问题：证明是一个无理数。学生在拿到这一问题后开始分析、思考，想到无理数的知识，无限不循环小数是一个无理数，要想证明这个数是一个无理数，只需要证明它是一个无限不循环小数即可，但学生却在思考了一定时间后，发现直接证明它是一个无限不循环小数有点困难，一时之间不知道该如何思考。此时，教师引导学生从相反的方向思考这一问题，让学生逆向思考。于是，学生试着假设不是无理数，也就是说是一个有理数。如果最后证明的结果与自己的假设相矛盾，那就说明是一个无理数，随后学生们开始证明思考。学生也在思考探究的过程中，发现这样反着证明显得很简单，从中很好地体验到反证法的价值。

在数学课堂教学中，教师引导学生运用反证法解决数学问题，让学生可以有机会换思维思考数学问题，这种学习模式很好地活跃了学生的数学思维，促进了学生高效发展，也让学生在学习与应用之中感受到数学思想的价值与魅力，达成轻松学习、巧妙突破的效果。

二、巧用反证法，提升学生解题效率

一些数学问题有着多种不同的方法去解决，并不是一成不变的，它具有很强的灵活性。作为教师，应更多地引导学生换思维思考问题，灵活学生的思维。而反证法学习方式对活跃学生数学思维意义重大，在数学课堂教学中，教师可以在学生解决问题时适时地运用反证法，以更新学生解题思路，更好地提升学生的解题效率。

例如：在教学“图形与证明”时，教师为学生们设计一道数学练习题：用反证法证明一个三角形的三个外角中至多有一个外角是锐角。随后，学生开始先给出假设，但其中“至多有一个”一词需要一番考量。这时，有学生想到“至多有一个”相对应的是“至少有两个”，于是，学生给出了假设：一个三角形的三个外角中，三个外角至少有两个是锐角。之后，根据自己的假设开始思考分析。很快便有学生根据外角的一些性质，得出一个外角的度数等于与它不相邻两个内角的度数和。利用这一知识点，将三角形三个外角全部由三角形三个内角表示了，最后得出的结果是三个外角和恰好等于两个三角形内角和360°。如果三个外角至少有两个外角的度数小于90°，则三个外角和将不再是360°。这样的探究结果与事实相矛盾，于是，学生得出自己假设不成立，也就是原语句成立，很好地解决了这一数学问题。

在数学课堂教学中，教师指导学生运用反证法解决数学问题，很好地开启了学生的数学思路，提升了学生的解题正确率，并有效地提升了学生学习成就感，推动学生进一步参与思考，有力地促进学生内在参与度的提升，引领学生在数学学习中的可持续发展和提升。

三、运用反证法，推动学生有效发展

反证法是学生重要的学习方式之一，它的运用能够有效地锻炼学生推理能力，开阔学生的数学视野，培养学生的发散思维。在数学课堂教学中，很多数学问题正向思考很难解决，如果逆向思考会显得简单一些。由此，教师在教学中可以有效地引导学生运用反证法思考数学问题，以充分激活学生数学思维，促使学生有效发展。

例如：在教学“勾股定理”时，教师在课堂学习中为学生们设计了一道数学题：求证在一个三角形ABC中，如果角C不为90度，那么a²+b²≠c²。学生们在教师给出问题后都纷纷进入思考中，很多学生发现直接证明很难得出最后的结果，于是，教师引导学生换思维思考问题，运用反证法来思考这一问题。有学生提出假设：在一个三角形ABC中，如果角C的度数不是90°，那么a²+b²=c²。之后，学生开始根据题意开始思考分析，画出一个相应的三角形，并标记好相对应的字母符号，三边分别为a、b、c，三边所对应的角分别是∠A、∠B、∠C。之后进入思考中，在反向思考的过程中，学生也找到了思维的突破口，充分感受到这种逆向思考的优势，显得这一数学问题更加简便、易懂，解决起来更加简单、准确。

在这一教学案例中，教师引导学生利用反证法解决数学问题，将复杂的数学问题变得简单、形象化，让学生更便于思考、学习，很好地促进了学生深入思考与分析，对比与突破，在有效解决原有问题的基础上提升了学习效率，突破了思维瓶颈，提升了学习能力。

总之，反证法是一种有效的解题方式之一，它使学生的数学思维变得更加灵活，将复杂的知识变得有理可循，很好地开拓了学生的思维空间，让学生能够多角度思考、探究问题。在今后的初中数学课堂教学中，教师要善于引导学生运用反证法思考数学问题，以充分发展学生的思维，促进学生高效发展。