认知图式理论观照下数学思维能力的培养

■张敏亚

一、认知图式理论对数学思维能力建构的解释

认知图式理论来源于乔治·凯利的《个人建构心理学》，认为人认识世界，就像科学家做研究一样，会不断地提出认识世界的假设并检验，最终形成关于世界的图式。

在数学学习中，学生数学能力的建构，也类似做科学研究。在过去学习的基础上，学生可能会对数学学习产生几个假设，如果见到关于数学的新事物，便会去收集更多的信息，并且把当前信息与之前的假设相比较。如果假设被证实，学生就会继续使用它；如果没有，学生就会放弃这一假设，用一个新假设取代它。最终，学生不断地证实、修改、发展个人假设，形成一个层次丰富、界限清晰、细节丰满的认知结构。相对稳定的结构使他们具有了相对稳定的数学解释和预测能力。这一过程很像科学家在实证发现基础上保留或拒绝假设的过程。数学学科是由定义、公理、定理等组成的逻辑大厦，体现了极致的逻辑之美；数学习题更是在数学思想下，依据所给条件的微细变化，在几个可能的解题方向上做出的恰当的选择。数学的这些特点既满足了认知图式理论所需要的信息，又能够培养学生的逻辑能力和个人创造能力。

人类思维的原始性是弥散的、无组织的，表现出来的是一种分离的经验，相互之间无联系。这样的思维形态没有力量，不利于深入学习。然而当前中小学教育中，忙碌的、刷题式的教学模式助长了这种趋势。在忙碌、焦虑的状态下，学生一般不能从容地产生假设，不能充分地收集信息，不能按着自己的节奏验证和发展假设，无法积极地深入探查思维的内在结构，很难在认知层面觉察它们的存在。即使给予学生充足的探究时间，教师也不要对学生的自主性抱有过高的期待。思维是有惰性的，大多数学生的学习会陷入一种重复的、不适应的应对模式。学生既没有能力识别出这种模式，也没有能力去修正和改变，只能进行不确定的循环，有时正确，有时不正确，解决问题常处于一种随机的、混乱的试错状态，而不是清晰的、有序的逻辑状态。

可见，应用认知图式理论进行数学教学实践探索具有一定的现实意义，不仅有助于学生数学学科素养的养成，也有利于学生形成广泛意义上认知世界的能力。

二、认知图式理论观照下数学思维能力培养的技术路径

对教师而言，培养学生的数学思维能力，既需要一个清晰坚固的行动框架，又需要在理论上有连贯的认识，在实践上有真切的体验，掌握实际有用的教学技术。借鉴认知疗法，数学思维能力的培养可以分为四个阶段。教师在实际教学中，应注重追求每一个阶段的成功，从而使学生从随机的反应转向正常的、有序的思考。

1.识别图式。

数学思维图式是以数学思想为解决问题的方向，以数学概念为思维基点，以数学方法为解决问题的工具，综合考查，构建解决问题的整体性思路。本质上，图式就是潜在的假设、一系列信息的联结。一般而言，学生片段化的经验形成的联结，构成了他们的认知图式，也构成了他们基本的思维能力。

如何识别学生头脑中的图式呢？首先，教师需要为学生营造安全的学习心境。犹如婴儿学步，初中学生最初展示的思维可能都是幼稚的、荒谬的。教师应用欣喜的心态看待学生每一点的自我探索。只有学生觉得安全的情境，才有利于思维的激活和发现。其次，从学生的解题行为中捕捉。学生的解题行为揭示了他们的认知图式。教师讲解习题时不应简单判断对错，而应看到文字背后的假设、联结、技能，让学生阐述初见问题的整体设想，描述思维过程，解释他所做出的判断和选择，从学生的叙述中辨识。这些都有利于教师对学生的认知图式的精准识别。

2.指导性发现。

教师的专业性意味着他更富有弹性，有更大的格局、更丰富的细节和更多供选择的认知图式，并且这样的认知图式可以高明地判断解题方向，拥有丰富的应对策略，这也是极其重要的数学学科素养。必须反复强调的是，在一般教学情境中，我们可以解决概念的界定、细节的完善、知识的巩固，但无法发展学生的认知图式。认知图式需要的是系统性的解决，需要经历从假设到探索，再到验证的反复循环。这是一个曲折幽长的过程，学生较难独立自主完成，一般的教学也难以促其进步。在学生深入探究知识的时刻，在学生解决问题的细微之处，需要教师的关注和指导。教师既要提供情感支持，也要提供专业支持，从而促进学生认知图式的发现和发展。

3.固着思维的转化。

笔者的教学实践表明，初中学生的数学认知图式呈现错综复杂的特点。在师生努力之下，确定了新的学习框架后，教和学的活动进入了第三阶段：质变。在这个阶段，面对具体的问题情境，学生反复阐述自己的想法，并对教师指导的内容进行验证。在这样的过程中，学生增强了对自己认知图式的察觉，将自己固着的思维方式与新的经验片段进行短暂性、渐进性的融合，形成更大的结构体系。此时，一些学生虽可能会有表面退步的表现，但他们会获得一种学习的掌控感和价值感，使得他们坚持下去。一段时间之后，量的积累会导致质的提升，在某一个时刻，学生会突然觉得那种艰难的感觉不见了，对学习数学有了真正的信心。

4.技巧训练。

在学生步入这样的轨道后，教学就可以进入正常的状态。学生会在教师授课、刷题等活动中学到知识。在这一阶段，学生需要的是尽可能多的数学实践，以利于认知图式的确认和再造。学生在进入真正的数学学习之前，需要有一个合理的认知框架，也就是说，他们在探索数学之前，已经有了一些关于数学的正确认识，不然，学生只能使用他能想到的应对策略，反复用不一定能胜任的模式来应对学习压力与挑战，哪怕这些应对方式已经无数次被现实检验为错误的方法。

三、从认知图式理论走向数学教学的实践策略

北外附校林卫民校长说过，一些教师没有从教学的复杂性本质特征来研究和把握课堂教学，一线教师的教学困惑主要源自教育工作本质的复杂性。不可否认，即使面对诸多鲜活的生命，一些教师依然会把全班学生视为完全一样的“内存条”，用几乎完全一样的指令，让认知图示各异的学生个体去穿越充满众多险阻的数学原始森林，导致只能表面达成教学目标。每个教师都遭遇过这样的情形：面对一道数学综合题，当自己声嘶力竭、倾己所能进行讲授时，教室里可能毫无生机，格格不入的学生无处不在，教与学之间充满混乱和痛苦。有识之士早已指出，教学改革不能局限在具体的技术层面。认知图式理论为我们的数学教育提供了一个全新的理论视角和具有可操作性的解决方案。从理论走向实践并非易事，需要教师们遵循一些原则，灵活应用一些策略。

1.无条件支持个人思考。

通常学生考好了，教师就给予表扬；学生考砸了，教师就提出批评。教师对学生的喜欢是有条件的，就是学生要快速地学会教师所教的方法，而不是他们误打误撞思考出来东西。有时候教师也明白，问题的情境是变化的，教师所教知识的作用是有限的。但我们在不知不觉中，就营造和强化出这样一种需要学生听话的教育环境。教与学是一个发展共同体，教师的这一潜在要求自然会影响学生。他们稚嫩的、混乱的思考可能会被嘲笑、讥讽，甚至打击，个人思考常稍做尝试就停止了。如果教师教学能像父母看着孩子学走路一样，对学生每一点的努力和尝试，都投以赞许的目光，报以欣喜的神情，以一种无条件的支持来鼓励学生做出思考，以很高的热情来宣扬学生身上细微的进步之处，营造鼓励个人独特思考的班级气氛，就很可能唤醒学生的内在动力。

2.在有价值的地方进行深度思考。

学生常处于任务饱和的状态，常忙着完成教师布置的具体作业，空闲时也可能会去做一些额外的习题，但就是不愿进行深度思考。教师需要在一些值得探究的、有思考价值的地方，引导学生进行深度思考。在实践初期，教师可以通过师生对话的形式，这不仅有利于推动思维的深入，检查思维的成效，也有利于学生学会正确的思考的视角和方法，收获积极的体验。

3.持续完善个人思维导图。

思维导图是一种很好的承载知识的组织形式。借助思维导图，学生可以将数学的思想、概念、具体方法按其内在联系组合成一个整体，将数学的知识点串成线连成网，形成完整的体系。这样，学生能够在新情境下做出一个快速、自动、恰当的反应。在学生初步能力培养的基础上，教师可以要求学生持续努力画出某些方面的思维导图，并最终建构个人数学认知图式，发展数学思维能力。

数学教育更大的目的在于培养学生的数学思维，提高学生的数学思维品质，这是一个很困难的任务。而个人认知图式的建构是解决这个任务的有效方式之一。只要我们坚持不懈地指导学生进行个人建构，学生思维能力的提高便会有发生的可能。