解析几何创立的历史背景

云南省昭通市昭通学院数学与统计学院 李青柏

解析几何又名坐标几何，是几何学的一个分支，其基本思想是用代数的方法来研究几何问题，它的基本方法是坐标法。本文对解析几何产生前的几何学，几何学创立的内、外部动力以及创立的过程作简单的综述，为读者理清其发展的逻辑关系。

一、解析几何产生前的几何学

解析几何产生前的几何学以欧几里得的平面几何和立体几何、阿波罗尼奥斯的圆锥曲线为主。公元前300年，希腊先后出现“欧几里得，阿基米德、阿波罗尼奥斯”三大数学家，标志着古典希腊数学的巅峰。

欧几里得（公元前330～275 年）是论证几何学的集大成者，写了很多数学、天文学、光学、音乐方面的著作，其中最重要的莫过于《几何原本》。采用了公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。构成了历史上第一个数学公理体系。

阿基米德（公元前287～212 年）可以说是一位偏重应用的数学家，他用“平衡法”解决了一系列几何图形的面积、体积的计算问题。他把希腊几何学几乎提到西方17 世纪后才得以超越的高峰，他对穷竭法的应用代表了古代用有限方法处理无限问题的最高水准。

阿波罗尼奥斯（约公元前262 ～190 年）通过平面去截一个对顶的圆锥得到椭圆、双曲线、抛物线，并正式命名为圆锥曲线。圆锥曲线论是希腊演绎几何的最高成就，他用纯几何的手段达到了今天解折几何的主要结论。但是这种纯几何的演绎形式使其晦涩难懂，也使其后千年间的几何学裹足不前。

以上几何学的特点：静态几何，既不把曲线看成是有一种动点的轨迹，也没有给它以一般表示方法。

二、变量数学的需求使原有几何学出现解决问题乏力的状态

近代数学本质上可以说是变量数学（12 ～16 世纪）。在这之前的欧洲是混沌的（5 ～11 世纪），封建宗教统治致使理性压抑，生产力的发展带来文艺兴。波兰天文学家哥白尼（1473～1543 年）提出日心说，意大利物理学家、天文学家伽利略（1564 年～1642 年）得出惯性定理和自由落定理，发现投掷物体是沿着抛物线运动的；德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿椭圆运动的，太阳处在这个圆的焦点上；武器的改进刺激了弹道问题的讨论。这些都向几何学提出了用运动观点来认识和处理圆锥曲线及其他几何问题，几何学必须从观点到方法来一次变革，创立起一种建在运动观点上的几何学。总之，16 世纪，对运动与变化研究已变成了自然科学的中心问题。原有几何学出现解决问题乏力的状态，这就迫切地需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学的产生。

三、代数的发展恰好为解析几何的诞生创造了条件

15 世纪，数学家们认识到了数学符号的意义，符号体系的建立使代数成为一门科学，是近代数学最明显的标志之一。数学符号系统化首先应归功于法国数学家韦达（1540～1603 年），他业余研究数学，是16 世纪最有影响力的数学家，也被认为是16 世纪最伟大的数学家，他从丢番图（约公元246～330 年，据推断和计算而知）的著作中获得使用字母符号的想法，他是第一个在代数中有意识地、系统地使用字母表示未知量及各种方程的系数和常数。后来，法国数学家笛卡尔（1596～1650 年）和沃利斯（1616～1703 年）改进、健全了符号系统。这样，代数就从一门以分别解决各种特殊问题的侧重于计算的数学分支，成为一门以研究一般类型的形式和方程的学问。

16 世纪，代数的发展，三次方程、四次方程求根问题的解决恰好为解析几何的诞生创造了条件，为几何曲线建立代数方程铺平了道路。代数的符号化，使坐标概念引进成为可能，从而为建立一般曲线的方程，发挥其具有普遍性理论方法的作用。

四、解析几何的创立

经过几百年的酝酿，到17 世纪前半叶，法国数学家笛卡尔和费马（1601～1665 年）批判地继承了前人的成就，成为解析几何的创立者。

笛卡尔改变了自古希腊以来代数和几何相分离的趋向，提出了坐标系和曲线方程的思想，建立了历史上第一个倾斜坐标系，坐标系中点的轨迹是一个方程代表的曲线，并把数与形统一起来。笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，再把任何代数问题归结到去解一个方程式。

费马是个业余数学家，在几何方面以研究动点轨迹问题而闻名，堪称与笛卡尔并列为发现坐标几何理论的人。他很早就研究用代数方法解决几何问题，曾指出：“只要在最后的方程中出现两个未知量就得到一个轨迹”，并定义了二次曲线的最简方程和直线方程。费马以希腊几何继承者面貌出现，力求恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作《论平面轨迹》，但他没有注意到代数方程的全部理论及应用它于几何。而笛卡尔相反在《几何》一书中运用整理了全部方程理论，自觉地用代数方法，坐标方法更换了古代方法，他的方法远远超出了普通几何的论述，并在“三卷”中指出一般方法程序：几何作图用代数表示，先解方程再作图。

历史上曾经发生过关于笛卡尔与费尔马关于解析几何明权的争论，后来和解了。我们认为，他和笛卡尔的创造都是文艺复兴以来欧洲数学振兴带来的必然结果。解析几何是代数与几何相融合的产物，也是变量数学的产物，为微积分的创立，撘起了舞台。