分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用

江苏省苏州市吴中区光福中学 孙洪青

初中数学解题教学是一项至关重要的教学环节，主要关注的是学生解题能力的培养，引导学生运用已学数学知识与方法解决数学难题和生活中的数学问题，提升解题有效性，推动思维进步。分类讨论思想在解题教学实践当中有着显著的应用价值，是提高学生解题准确性和解题效率的策略，也有助于提高学生思维的完善性和解题的正确率。初中数学教师应该让学生认识到分类讨论思想在数学解题中的应用价值，让学生掌握在解答数学问题时进行分类讨论的方法。

一、分类讨论思想在初中数学解题教学中的应用重要性

受当前教育改革全面推进的影响，初中数学教学受影响比较深刻，而且为了适应教学改革的要求，也在进行着教学思想与方法的调整。初中数学这门学科是初中阶段的基础课以及核心课程，在培养学生逻辑思维能力方面拥有极大的优势。再加上初中阶段正是学生学习和发展的黄金阶段，不少学生在这一时期保持了强烈的好奇心以及探索热情，那么在实际教学当中要关注学生的这一特点，在具体教学实践当中灵活运用多元化的教学方法。初中数学的解题教学关键点是让学生掌握数学解题的思路以及有效方法，不过学生在实际解题时经常会接触到需要进行分类讨论的一类问题，而此类问题也能够助推学生思维能力的发展。分类讨论在数学解题当中至关重要，是不容忽视的数学思想方法，也是解决实际问题，提升解题有效性的一个重要因素。不过不少学生在实际解题时却不知道要怎样进行分类讨论，不能够明确其应用价值，因此需要教师结合教学内容和学生的学习实际创设一定的学习情境来引导学生合理应用这一方法，启迪和引导学生在解题当中灵活把握和运用分类讨论，揭露这一思想方法的本质，逐步引导学生建立分类讨论的意识。由于实际教学当中要研究的对象拥有差异化的属性，因此会在很大程度上影响到问题研究结果，而研究当中的问题有了其他情况，就要在分类讨论的指导之下顺利解题。从这些层面上看学习，并且掌握分类讨论思想的应用方法是初中生的必备素质，也是数学解题教学的要点。

二、分类讨论思想在初中数学解题教学中的应用策略

1.分类讨论思想在初中几何解题教学中的应用

几何知识是初中数学课程内容体系当中的一个重要的构成部分，也是一个大的学习模块，其中涵盖着诸多与图形相关的数学知识。在这一大类数学题的解答过程当中，通过使用分类讨论的思想方法，可以引导学生深入全面地研究几何图形，归纳其中涉及的知识与方法。比方说，在探索圆和直线关系这部分几何知识的教学当中，结合圆心到直线距离和半径的关系，可以确定圆和直线有相离、相切与相交这几种位置关系。显而易见的是，这实际上就是极具代表性的分类讨论的体现。除此以外，在求解直角三角形三边长的数学题当中也需要用到分类讨论的方法。例如：有一个直角三角形知道两个边长分别是4厘米和6 厘米，求另外一边的长是多少。从表面上看这道题是很简单的，利用勾股定理就能计算的问题，不过有不少学生因为考虑不全而出现解题中的失误，出现失误的主要原因是并没有考虑给出的两条边究竟是斜边还是直角边。于是在实际解题当中要划分两种情况，实施分类讨论，第一种情况是直角三角形的斜边长是6 厘米，一条直角边是4 厘米；第二种情况是直角三角形的两条直角边分别是4 厘米与6厘米。这样解答出来的问题才是全面和准确的，才算是对分类讨论思想的合理化应用。从本质上看，分类讨论思想是数学思想方法中的一个类型，在解题当中应用该思想方法可以助推学生思维能力以及解题水平的提升。尤其是在课程改革要求关注学生综合实践素质培养的背景下，解题教学成为提高学生综合素质的重要路径，于是在教学当中渗透分类讨论思想是非常必要的，可以为学生的几何学习注入动力。

2.分类讨论思想在初中代数解题教学中的应用

数学问题的解答与分类讨论有着密不可分的关系，而且分类讨论的重要价值不仅体现在初中几何学习方面，还体现在代数领域。代数这部分的知识有着严密的逻辑，对学生逻辑思维和思维严谨性有很高的要求。要想让学生轻松解决代数方面的数学题，除了要完善学生的推理能力之外，还需要发展学生的综合思维，促使学生可以在面对问题时，通过研究已知与未知数量之间的关系来确定思路和拨开迷雾解决问题。纵观大量的代数问题，最为明显的特点是多解性。基于这样的情况分类讨论思想恰好是数学多解性问题的有效解决方法。例如，在教学一元一次不等式时，其中涉及了很多的代数应用题都具备多解性的特征，需要学生应用好分类讨论思想，避免产生求解不全面的问题。如：工厂为了增加规模，想要购买5 台机器生产零件。在购买时有A、B两种机器选择方案，这两种机器价格和每日生产零件数量分别是5 万元与4 万元，80 个和50 个，要求购置资金在22 万元之内。假如工厂购入的机器，每天生产零件数量不能够少于280 个，为保证资金花费最少可以选择怎样的方案？这个问题就是一个典型的多解性问题，需要运用到分类讨论的思想，通过从整体上研究，可以确定有三种选择方案，一种方案是只购买5 台B种机器，一种方案是购置A种机器1 台，B种机器4 台,另一种方案是购置A种机器2 台，购置B种机器3 台。在函数以及方程等代数问题的求解当中，都需要分类讨论方法的应用，以便保证求解全面和思考全面。这就需要教师在实际教学当中进行分类讨论思想的有效渗透，让学生逐步确立起分类讨论的主动意识。

3.分类讨论思想在实践课题解决教学中的应用

数学这门课程和其他课程相比，对学生的思维理解能力以及学习能力的要求会更高一些，特别是在解答数学问题的过程当中，更是增加了对学生逻辑思维与综合研究能力的要求。不过我们也必须要看到初中生缺乏丰富的学习经验，同时在各方面的能力发展上还是存在一定限制的。正是基于这方面的原因，伴随着新课程改革的落实，初中数学教材当中增加了课题研究等实践性的活动，以便更好地提高学生的综合能力，也给初中数学解题教学提出了难题。在很多课题实践活动当中要顺利地解答问题，必须运用好分类讨论思想，针对这样的情况，数学教师需要让学生明确分类讨论在实践课题研究当中的应用作用，合理优化课题活动的流程与实施方法，让学生应用分类讨论思想解题时更加顺利。例如，在方案选择的课题研究活动中，教师可为学生设计以下问题来引导学生利用分类讨论思想：某奶类生产工厂目前有9 吨鲜奶，假如直接销售，每吨的利润是500 元。如果将其制作成酸奶再进行售卖，可获利润为1200 元。如果是制作成奶片，每吨的利润是2000 元。工厂的生产力是有标准和限制的，假如是制作成酸奶，每日加工量为三吨；制作奶片，每日加工量是一吨。两种加工方法是不能够同时开展的，而且所有加工和销售工作要在4 天之内完成。请设计方案并进行分类计算。

总而言之，分类讨论思想方法在解决初中数学教学方面有着不可忽视的应用价值，而且在不同类型题目的解答当中都有所涉及。分类讨论思想方法能够让学生的数学解题效率和质量大幅提高，但是只有当学生真正掌握了这些方法和技巧，才能够更加灵活恰当地应用解题。这就需要教师在教学指导方面付出更多的努力和精力，加强分类讨论思想的渗透和指导，增强学生的解题能力和数学素养。