二次函数教学设计的“三个出发点”

江苏省泰州市民兴市实验中学 程 兵

课堂教学设计是为了实现课时教学目标对课堂教学过程和行为的规划，新时代数学课堂教学的设计要坚持立德树人的方向、培养学生的数学思维；设计的目的要帮助学生掌握课时教学内容、达成学习目标。理想的课堂教学设计既能够提高学生学科核心素养，又能够让学生掌握知识、减轻学习负担，提高课堂教学的质量。以二次函数y=ax²+bx+c为例，课堂教学的设计应该坚持“三个出发点”。

一、建构二次函数知识为基础

二次函数是初中数学极其重要的内容，连接着高中函数的学习，承上启下，二次函数是描述实际生活中变量之间关系，尤其是解决单变量最优化问题的重要数学模型。我们要帮助学生掌握二次函数的概念、原理、运用，培养学生借助二次函数的模型解决实际问题，学以致用。

1.二次函数的教学设计思路

由个别到一般，由一般到特殊，即固定参数值探究到参数分类，即y=2x2、y=-2x2到y=ax2；由简单到复杂，由复杂到简单，即研究抛物线y=ax2到y=ax2+c再到y=a（x+b）2+c并分析三者之间的关系，再由y=ax2+bx+c探究参数及y与x之间变量的关系。注意“变化中的不变量”到“不变中的变化量”；注意合理利用函数的对称性质研究问题。学生通过自主绘制函数图像，观察比较图像，合作交流分享探究的结果，建立数形结合的思想。理解y=ax2+bx+c的概念、原理、变量关系的基础上运用于生产、生活实践，解决单变量最优化问题，解决实际生活中最大值和最小值。

2.设计二次函数的教学过程

数学发生和发展的过程与学生探究知识认知过程相结合，一是提出问题、明确学习目标、引导学生探究。二是参数取值、作图分析，同一坐标系中比较y=ax2、y=ax2+c、y=ax2+bx+c图像；选取不同的a、b、c参数值，在同一坐标系建立函数图像，并分析与y=ax2的关系，要求学生紧紧抓住对称轴、顶点、开口方向、增减变化进行观察、分析、归纳。探究具体数学情境问题的解决，巩固知识。

二、建立二次函数模型为手段

设计数学模型或者设计学生建构数学模型可以帮助学生克服理解二次函数的逻辑思维、空间想象能力的不足。让学生借助图像的变化来探究二次函数的概念及性质。如抛物线y=3x²+4 和抛物线y=3x²-4，如何由抛物线y=3x²平移而来；二次函数y=3(x-4)²与抛物线y=3(x+4)²，如何由抛物线y=3x² 平移而来。探讨二次函数y=3x²,y=3(x-4)²,y=3(x-4)²+2 的图像的平移关系,确定它们的图像的三大特征，并判断增减情况。

由个别到一般。建立函数y=ax²、y=ax²+b、y=a(x+c)²+m的图像模型，分析这三个函数图像模型的相同点与不同点，在其基础上能够根据图像判断二次函数的解析式。比较函数y=ax²与y=a(x+c)² +m的图像，探究两个图像之间的联系，二次项系数相同，则函数图像相同，顶点坐标不同，图像位置不同。理解“括号内加减左右移”“括号外加减上下移”图像。建立y=2x²和y=-2x²的函数模型，定点都是原点，抛物线相同，开口方向相反，对称轴都是y轴。进一步要求学生观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、极值等性质；利用图像来判别二次函数的系数a、b、c、Δ 以及由系数组成的代数式的符号等。在遇到比较复杂的代数式的符号判断时，可采用特殊值法处理。模型的平移和翻转，将书本上抽象的知识，直观动态地展示给学生，为学生探究二次函数的概念和性质发挥了体验的作用。

三、理解运用二次函数为核心

借助模型进行数学运用对于提高课堂教学质量、帮助学生理解运用数学知识有重要的意义。改变了教师讲授者、学生被动接受者的角色，设计学生数学建模的教学情境，能够以学生为主体、问题为中心、探究为手段，有效调动学生数学潜能，让学生成为数学学习的主人。

1.设计引导学生思考的情境

教学情境是教学设计的重要内容，二次函数教学设计应该设计情境，提出假设，建立模型，运用二次函数的概念、原理解决实际问题。如直线 经过点A（4，0）和点B（0，4），且与二次函数y= 的图像在第一象限内相交于点P，若△AOP的面积为，求二次函数的解析式。

2.设计学生理解知识的情境

单变量最优化问题是二次函数的重要运用，有助于学生加深二次函数原理的理解：要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？这个问题的解决，需要建立竖直安装的水管，设为y轴，与水管垂直的为x轴，池中心为原点直角坐标系，借助二次函数的数学模型，利用二次函数的知识，求出水管的长度。

3.设计学生综合知识的情境

如成本投入与盈利的关系问题，企业需要最大化盈利，可以设计建立二次函数模型，探索最佳的盈利方案：某企业如果单独投资A产品，投入资本是x万元，能够获得利润yA万元，成本与获利是正比例函数关系yA=kx，假设投入资本5 万元，能够获得利润2 万元。如果单独投资B产品，投入资本是x万元，能够获得利润yB万元，成本与获利是二次函数关系yB=ax2+bx，假设投入资本2 万元，能够获得利润2.4 万元；假设投入资本4 万元，能够获得利润3.2 万元。这个企业用于投资A、B两种产品的资本只有10 万元，怎样投资才能获得最大利润，最大利润是多少？学生在解读情境的基础上建立正比例函数和二次函数模型，探索二次函数和正比例函数的最大值，寻求最大利润的方案。

凡事预则立，不预则废。教学设计是实现学生学习目标的重要准备，有的时候还需要对学生可能生成的问题进行预设。当然真正的课堂教学还需要依据教学的实际情况，作出相应的调整，要立足课堂，立足学生学情，设计激发学生思考的真实情境、有效情境，为学生素养的形成、未来的发展奠定基础。