握“改变”利器，破“路径依赖”——观张齐华老师执教的“正方形中的圆”一课有感

◇魏俊晨

“正方形中的圆” 是小学数学领域中的热点话题，不少名师都讲过，而且讲得很精彩。特级教师张齐华没有沿用原有的思路，而是另辟蹊径，颠覆传统，讲出了自己独有的特色。纵观全课，张老师的课堂有许多值得我们学习的地方，特别是“改变”之后对于学生思维的提升与磨砺，可以引发我们对于学生数学学习的全新思考。

一、现象：学习遭遇“滑铁卢”

当课堂一帆风顺、一成不变时，我们需要思考： 这节课学生的思维得到提升与磨砺了吗？当课堂出现学生学习举步维艰、停步不前，抑或横冲直撞时，我们需要思考：学生学习遭遇“滑铁卢”了，怎么办？

回顾课堂，当张老师提出“如何在正方形中画尽可能大的圆”时，学生有许多话想说。而在这个问题上，学生对怎样画圆、最大圆的直径、圆与正方形的关系，以及提出画4 个、9 个、16 个尽量大的等圆这些话题都非常熟悉，不仅有丰富的经验与方法，还有独到的认识与见解。

继而，当张老师提出“你能在正方形中画2个尽可能大的圆吗？这2 个圆必须同样大”这个新问题时，学生不知所措。观课中，我们发现学生经过独立思考，组内交流后出现了三种情况。情况一，学生将正方形分成2 个一样的长方形，在每个长方形里画了1 个最大的圆；情况二，学生将正方形分成4 个一样的小正方形，在其中2 个小正方形中画出最大的圆；情况三，学生交了“白卷”，细细观察，可以看出学生经过思考后有一些思路，但犹豫后擦去了自己的思考过程。在随后的师生对话交流中，学生说擦去的原因：“因为我们不知道这个问题到底该怎么解答。”

学生在学习过程中遭遇“滑铁卢”的原因是什么？学生课堂学习遭遇“滑铁卢”时，教师该如何帮助学生“改变”，从而化“困惑”为“深刻”？

二、溯源：“路径依赖”为哪般

学生学习遭遇“滑铁卢”不一定是坏事，关键是我们要寻找到学习遭遇“滑铁卢”背后的原因。回想我们当下的课堂，我们会发现许多学生是“被动式” “个体化” “接受性”的“记忆者”。学生常常囿于某种思维模式的固化中，难以跳出对某一知识点、某一方法的“路径依赖”。

路径依赖类似于我们常说的惯性。学生一旦进入某一路径就可能对这种路径产生依赖。课上，小组发言：“因为正方形不可能分成2 个同样大小的小正方形，所以，我们先把正方形分成了4 个同样的小正方形，然后，我们在其中2 个小正方形里画了最大的圆。我们觉得，这就是正方形里能够画出的最大的2 个圆。”

学生走进了“死胡同”还一意孤行，是因为“思维定式”影响着他。学生受已有的“在正方形中画1 个最大的圆”方法路径的影响，他们进而习惯性地认为“可以将正方形分解成小正方形或长方形”。其实，在“此路不通”的情况下，如果能突破“路径依赖”的束缚，转变角度另想办法，问题就可能迎刃而解。

当下许多数学课上，教师的分析代替了学生的洞察，教师的理解代替了学生的思考，再加上少数优秀学生的“金点子” “好创意”“巧方法”，导致多数学生“被学习”。很多时候，学生力求揣摩教师的意图呼应教师的提问，使得思维活动开始趋同，逐渐固化，以至于让“路径依赖”成为一种准则而严格遵守，形成了“记忆者”式的学习。

三、求解：“学会改变”以破局

在数学学习中，学生怎样才能不落入“路径依赖”的窠臼？唯有教师和学生“学会改变”，才能打破思维僵局，走出思维困境，实现认识上的突破和飞跃。

1.思维地图，师生共绘。

学会改变，我们需要打破习惯依赖的藩篱。改变学生的“路径依赖”，需要一定的外力。这个外力应该来自于教师。教师，需要改变自己的思维，为自己和学生绘制出新的思维地图。

首先，需要改变课堂节奏。我们需要常常审视自己的课堂： 学生有尝试的机会吗？ 学生有思考的机会吗？学生有对话的机会吗？课堂上需要放慢节奏，让学生能够质疑、思考、判断，让学生有机会磨砺自己的思想和方法。张老师在学生再次探索前给学生提醒和启示，鼓励学生要勇于尝试：“第一，如果你实在找不到解决问题的确切思路，不妨回到最原始的方法——尝试，不合适就调整，再尝试，再调整。慢慢地，你就会发现，答案离你越来越近。第二，如果你实在找不到最准确的答案，没关系，你至少可以先找一个比较接近的答案。请大家一定记住：有总比没有好。”张老师说完这段话后，恰到好处地戛然而止，把时间留给学生，再一次小组合作展开研究。

其次，需要改变教学视角。课堂如果总是一种模式、一种标准，教师的提问如果都是学生可以揣测的，那么课堂学习容易让学生形成“路径依赖”。当学生再一次研究探索时，有一个小组提出，想借助电脑进行探索，张老师同意了他们的请求。在再度探索后的多样表达环节，教师激发学生从不同角度去思考和尝试，我们可以发现学生学得从容，学得充分，也就学有所获。“正方形中画两个尽可能大的等圆”的问题极具挑战性，但在老师的适时点拨与指导下，学生思考得很透彻，这提升了学生数学思考的深刻性。

再次，需要改变学习方式。教师应该成为学生思维“远行”的“脚手架”。张老师对于学生面对新问题出现的“路径依赖”早有预判，因此在他的课上，频频闪现巧妙的点拨。张老师介入后的再度探索环节，学生的学习体现出“研究、分享、合作”的特点，从“聚焦知识的学习”走向了“探究思考的学习”。

2.学习旅程，团队共进。

学生的学习旅程不能成为一个人的独有风景。学生也需要改变，需要从个体“被动”的展示变成团队“能动”的共享。因为课堂是所有学生的课堂，不应有旁观者。再看这节课，整个学习过程没有仅仅停留在学生个人的观点表达上，而是强调小组合作与交流。汇报体现小组成员研讨争辩后的共同结论。

课中学生二次探索后表现得那么活泼、鲜明、妙语连连，就是最好的证明。“我们小组经过研究，发现……”“我们小组也是这样尝试的。但是……”“我们小组经过尝试发现……然后我们继续调整。最后，我们发现……”“我们的方法和他们有点类似。通过前面两个小组的交流，我们发现……”“通过观察前面几个小组的汇报，我发现一个规律……” 学生不再止步于观望与犹豫。每个学生都在为问题的展开贡献自己的智慧，在老师和同伴的影响下，敢于尝试不寻常路径，通过对话与竞争，进行思维的碰撞。

联合国教科文组织在“学会认知、学会做事、学会共处、学会生存”的基础上又提出第五个学会——学会改变，被称为第五根支柱。创新是社会发展的“第一动力”，而“改变”驱动着学生创新能力的提升。因此，我们要学会改变，改变课堂，改变自己，改变学生，实现从“路径依赖”到“路径创造”的跨越。