食饵带收获率的Holling-2型捕食者-食饵模型的Bogdanov-Takens分岔

傅仙发, 蔡高明, 陈国雄

(湄洲湾职业技术学院 基础部, 福建 莆田 351254)

食饵带收获率参数的Holling-2型捕食者-食饵模型表示为

(1)

其中:x1,x2是食饵与捕食者随时间变化的函数,β,γ,δ都是正常数;正参数h表示收获率[1].

1 预备知识

考虑以下非线性系统

(2)

其中,n≥2,m≥2.

系统(2)在α=0,x=0处可写为

(3)

F(x)在x=0处的泰勒展开式为

其中,B(x,x),C(x,x,x),D(x,x,x,x)和E(x,x,x,x,x)是向量函数,且满足[2]

通过将式(3)限制到nc维中心流形,即w∈Rnc的参数化,得到临界中心流形

x=H(w),H:Rnc→Rn.

(5)

由此限制方程可以写为

(6)

将式(5)和式(6)代入式(3)可以得到方程[2-3]

Hω(w)G(w)=A(H(w))+F(H(w)).

(7)

2 Bogdanov-Takens分岔

在余维2的BT分岔上存在两个实线性独立的特征向量q0,q1,使得

Aq0=0,Aq1=q0.

对于A的转置矩阵,存在实特征向量p0,p1.并且p0,p1具有如下性质ATp1=0,ATp0=p1,可以选择这样的向量使得

〈p0,q0〉=〈p1,q1〉=1,〈p0,q1〉=〈p1,q0〉=0.

y=w0q0+w1q1.

其中,w0=〈p0,y〉,w1=〈p1,y〉.由此方程(7)可以表示为

多维泰勒形式的中心流形可以写成如下形式

将式(2)限制到临界参数的任意中心流形,都可以转化为如下形式

将式(3)限制到H(w0,w1),有

(10)

其中,h20满足Ah20=2a2q1-B(q0,q0),且

其中,h11满足Ah11=b2q1+h20-B(q0,q1),且

h30,h21可以由如下公式得到

h02可以由如下公式得到

Ah02=2h11-B(q1,q1).

这里省略b4的公式是因为对本文的讨论没有影响.

很明显系统(1)的余维3情况在a2=0或b2=0时会发生[6].

现在计算系统(1)的显式标准形式.在分岔参数h=1/4,(δ/γ)-1=2β时,系统(1)在临界平衡点p0的雅克比矩阵

其中,特征值λ1,2=0.其标准化后为

且

其中,TERM1是

y1z1w1u2+y1z1w2u1+y1z2w1u1+y2z1w1u1,

且

剩余的计算可直接表示为[5-6,8]

综上,系统(1)的余维3情况发生,系统(1)的Bogdanov-Takens分岔是退化的.