具有阶段结构和反馈控制的非自治单种群模型的正周期解

杨 英 钟

(闽南理工学院 信息管理学院, 福建 泉州 362700)

1993年,Gopalsamy[1]提出并研究了单种群反馈控制增长模型,其后很多学者继续广泛地研究反馈控制系统,得到了更多好的结果,比如得到了系统存在唯一的全局渐进稳定的周期正解(概周期正解)的充分性条件,系统的持久性的充分性条件等,更多关于反馈控制生态系统的工作,可参见文献[2-8],但文献[2-8]中都没有考虑到阶段结构的情况.

近年来,很多学者认为合理的生态学模型需要考虑到阶段结构对种群的影响.文献[9]探讨了具有反馈控制单种群阶段结构模型.

(1)

得到了保证该系统存在唯一的全局吸引的正平衡点的一个充分条件.而本文进一步把系统(1)推广到非自治情况,即:

(2)

其中:x1(t),x2(t)分别表示幼年种群和成年种群在t时刻的密度;y(t)是反馈控制变量;b(t),a(t),d1(t),c(t),f(t),e(t)为正w周期连续函数;τ是正常数.

假设如下:幼年种群的出生率与成年种群的密度成正比,并且比率系数记为b(t)>0;幼年种群的死亡率与幼年种群的密度成正比,并且比率系数记为d1(t)>0;成年种群的死亡符合Logistic规律,即成年种群的死亡率与其密度的平方成正比,并且比率系数记为a(t)>0;幼年种群的成熟期为τ,即在t-τ时刻出生并且成活到t时刻的幼年种群将转化为成年种群.

考虑系统(2)具有如下初值条件:

(3)

在本文中为了保持初值的连续性,假设:

本文旨在通过利用重合度理论得到保证该系统至少存在一个正w周期解的一个充分条件.

1 重合度理论及其引理

为了讨论周期解的存在性,下面引入重合度理论中的延拓定理[10].

(1) 对任意的λ∈(0,1),方程Lx=λNx的解满足x∉∂Ω;

(2) 对任意的x∈KerL∩∂Ω,QNx≠0;

(3) deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0;

引理2[11](x1(t),x2(t),y(t))T是系统(2)的一个w周期解,当且仅当它也是如下系统的一个w周期解:

(4)

其中

证明 引理2的证明类似于文献[11]中引理2.2的证明,本文只给出简单的证明如下.

若(x1(t),x2(t),y(t))T是系统(2)的一个w周期解,则有

由以上分析可知:

又因为y(t)是w周期函数,所以

若(x1(t),x2(t),y(t))T是系统(4)的一个w周期解,则有

引理2证毕.

2 系统正周期解的存在性

由引理2可知,系统(2)的正w周期解问题等价于如下系统的正w周期解问题:

(5)

是正w周期函数,并且满足系统(5)的第一个方程,因此系统(2)的正w周期解的存在性问题等价于探讨如下系统的正w周期解的存在性:

作变换:

x2(t)=exp{v(t)}.

则系统(6)可化为

接下来,叙述并证明本文的主要结果.

证明 由以上分析可知,要证明定理1,只要证明系统(7)至少存在一个周期解v*(t)即可.

定义

X=Z={v(t)∈C(R,R)|v(t+w)=v(t)},

dimKerL=codimImL=1,

故L是指标为零的Freedholm映射.容易证明P,Q是连续投影,且使得:

ImP=KerL,KerQ=ImL=Im(I-Q).

因此L的逆映射Kp:ImL→KerP∩DomL存在,且

所以

对应于算子方程Lv=λNv,λ∈(0,1),

有

(8)

设v(t)∈X是系统(8)的对某一个λ∈(0,1)的解,将式(8)两端同时从0到w积分得

由v(t)∈X,知存在ε,η∈[0,w]使得

再将式(8)两端同乘以ev(t),再从0到w积分得

由式(10)可知

则

(11)

利用不等式

则由式(11)可知

(12)

则

(13)

结合式(8),式(9)和式(13)可知

再结合式(13)和式(14)可知

(15)

另一方面又注意到

则由式(9)和式(16)可知

(17)

令

(18)

再由式(17)可知

(19)

结合式(14)和式(19)可知

(20)

再结合式(15)和式(20)可知

令H=L1+L2,其中L2>0取充分大,使得

的唯一解v*,满足|v*|

且

deg{JQN,Ω∩KerL,0}=-1≠0,

定理1证毕.