一种证明引力大小与质量乘积成正比的数学方法*

何春生

(北京市第八十中学　北京　100102)



一种证明引力大小与质量乘积成正比的数学方法*

何春生

(北京市第八十中学北京100102)

若z=k1x，z=k2y，两式相乘可得z2=k1k2xy．貌似可以得到z2与xy的乘积成正比．可在高中物理教材上，在行星与太阳间引力大小的推导中，由圆周运动知识、开普勒定律和牛顿第三定律得出：引力大小与行星质量成正比，与太阳的质量成正比，可结论却是引力大小与它们质量的乘积成正比，这是为什么呢？

万有引力大小成正比牛顿第三定律

1　问题的提出

关于万有引力大小，现行人教版教材《物理·必修2》和教科版教材《物理·必修2》的处理方式几乎相同．将行星的运动轨迹简化为圆，将行星绕太阳的运动简化为匀速圆周运动．认为太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力．结合圆周运动和开普勒第三定律，推导出太阳对行星的引力与行星的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比．即

(1)

然后指出：从相互作用的角度来看，行星与太阳的地位相同，所以太阳所受的引力也应与太阳的质量成正比，与它们距离的平方成反比．即

(2)

根据牛顿第三定律有

F=F′

(3)

所以

(4)

由式(1)、式(2)和式(3)真的能导出式(4)吗？引力大小与太阳的质量成正比，与行星的质量也成正比，就一定能证明引力大小与二者质量的乘积成正比吗？

关于引力和两天体的质量关系，有学生做过这样的推导．设在r不变的情况下，若将式(1)和式(2)变为等式，分别表述为

F=k1m

(5)

F′=k2M

(6)

将(5)、(6)两式相乘可得

F2=k1k2Mm

(7)

从式(7)中不难看出F不是与M，m的乘积成正比，而是F与M，m的乘积的平方根成正比．问题出在哪儿？是万有引力定律出问题了吗？

2　错因分析

该同学的推导过程貌似合理．但实际上只有当k1，k2与M，m无关，相对M，m独立时，他的推导过程才能成立．而k1，k2真的与M，m无关吗？

我们回顾一下式(1)推导过程：

若认为行星绕太阳做匀速圆周运动，根据向心力公式有

(8)

由根据开普勒第三定律有

(9)

联立(8)、(9)两式可得

(10)

所以

因为式(9)中k与太阳的质量有关，可见在r不变的情况下，式(5)中k1与M有关，是M的函数．同样的道理，可见在r不变的情况式(6)中k2也与m有关，是一个关于m的函数．所以上述学生的推导是有问题的．

3　一种解决问题的办法

在r不变时，可将中心天体对行星的引力大小表述为

F=f1(M)m

(11)

同理也可将行星对中心天体的引力表述为

F′=f2(m)M

(12)

因为F与F′为相互作用力，所以

F=F′

(13)

联立式(11)、(12)和(13)可得

又因为当m为某一定值时，f2(m)也为定值，所以

f1(M)∝M

代入式(11)，可得F∝Mm

所以在两物体间距离不变时，万有引力的大小与两物体的质量乘积成正比，而不是与两物体质量乘积的平方根成正比．

同样可以看出在两天体间距离不变时，万有引力大小与两天体的质量乘积成正比．

2016-02-29)

*北京市中小学名师发展工程首都师范大学基地成果.