HPM视角下“对数概念”的教学案例

詹云蕾

[摘           要]  对数是中职数学重要的基础内容之一，对天文、航海及军事等方面的发展起着非常重要的作用，曾与解析几何、微积分被恩格斯称为17世纪数学的三大成就。对数的发展经历了形成简化运算想法、发明对数表、发现指数与对数的互逆关系三个阶段，但是人教版必修一省略了前两个阶段，仅从简单的指数函数引出对数的概念，这样会导致学生缺乏对对数发展史的了解，在理解对数概念上存在一定困难。近年来，部分教师从HPM视角下设计对数概念的教学，将数学史融入实践教学，不仅增强了课堂的趣味性，更加有利于学生理解重难点知识。

[关    键   词]  HPM;对数概念;教学设计;教学反馈

[中图分类号]  G712                                [文献标志码]  A                                 [文章编号]  2096-0603（2019）30-0012-02

在人教版数学教材中的对数与对数运算这节中，对数概念是通过人口增长模型，即指数模型引入的。这种导入方法揭示了对数与指数之间的密切联系。但对学生而言，对数毕竟是一个新的概念，因此，在这节学习中存在两种现象：一是学生对对数概念理解得不透彻，不知道对数的作用;二是学生对运算法则死记硬背、盲目套用，容易出错。导致上述现象的原因是学生缺乏对对数概念发展史的了解，因此学生接受起来较困难。教材编写者为弥补这一缺失，在课后“阅读与思考”中介绍了“对数的发明”，让学生了解对数产生的过程。但在教学实践中，很多教师未能将其纳入课堂中，也未能引起学生的足够重视，甚至有些学生根本不知道有这部分内容。为了让学生对对数理解得更加透彻，设计一堂既不挤占教学时间又能更好地将对数发展史融入教学中，既不能让本节课理解为“数学史课”，又能让学生上一节充实的课是非常必要的。因此，进行了如下的教学设计与实施。

一、问题导入

1.不用计算器，请同学们计算299792458×31536000×100000，显然如果不运用计算工具，需要花费很长时间，这也是17世纪天文学家几乎每天面临的问题，因此简化计算方法成了17世纪天文学家急需解決的难题。

2.接着介绍对数的发展背景。

16、17世纪之交，随着天文学、航海贸易及军事等的发展，科学家们几乎每天面临着大量复杂的计算，有时仅仅一个计算就要花去几个月甚至几年的时间，因此简化计算就成了当时迫切需要解决的问题。苏格兰数学家纳皮尔经过多年研究，在1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》，发明了对数，并将花费了20年的研究结果公布于众，具有划时代的意义。之后，布里格斯对纳皮尔的对数进行了改造，发明了常用对数。

由于对数比指数发明得早，纳皮尔在研究对数时并没有使用指数与对数的关系，直到18世纪瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系。对数的发明先于指数，成为数学史上的珍闻。对数的发展经历了简化运算想法的形成、对数表的发明、指数与对数的互逆关系三个阶段，随着社会发展以及计算工具的不断革新，教材省略了对数发展的前两个阶段。为顺应对数的发展历程，我们将前两个阶段融入教学中，进行历史重构，让学生更好地理解对数。

二、新课讲授

（一）第一阶段：形成简化运算思想

师：今天考查下大家的计算水平，请大家计算下（299792458×31536000×100000=？），有些学生抱怨数据太大，太难算。这个数据确实很大，但是来自天文学中的实际问题——银河系直径的大小，银河系直径约为十万光年，光速为每秒299792458米，一年为31536000秒。

生：直接计算太复杂、太繁琐。

师：16、17世纪之交，天文学迅速发展，天文学家有时为了一个复杂的运算要耗费几个月的时间，因此简化运算是当时急需解决的问题。

（二）第二阶段：对数表的探索

师：请大家计算下指数为9时，对应的结果。

生：19683。

师：那么指数为13呢？

生：1594323。

师：算得很快啊，请同学们再来计算下81×2187=？

生：177147，不用计算，查表就知道了。

师：居然不用计算就得出来了，很聪明啊。那么大家再来挑战下0.126473×356218=？。

生：0.126473是3的几次幂呢？356218又是3的几次幂呢？老师，表格中没有，我们不会计算。

师：看来表格还是存在问题的，在表格中只能查到3的整数指数幂。那么对于其他实数，比如2×7，就不适用了。

生：那能不能把表做得更精细一些呢？可以查到2是3的几次幂，7是3的几次幂。

师：可以，但是制作表的难度很大。17世纪，苏格兰数学家纳皮尔用了20年的时间制作了可查的对数表，为当时的天文、航海、军事等作出了巨大贡献。但是利用Excel模拟查表得到的值只能是近似值，那有没有精确的表示方法呢？

（三）第三阶段：引入对数符号（指数与对数的关系）

我们把符号一般化，就给出了对数的概念：一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫作以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数。

三、课堂小结

本节课，我们体验了对数概念发明的历史过程，重现了纳皮尔与布里格斯发明对数的过程，属于重构式的HPM教学案例。对数的发明是数学史上的重大事件，曾被恩格斯称为17世纪数学的三大成就之一。伽利略也说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙”，可见对数的发明有多么重要。

四、教学反馈

本节课的授课对象是我校17级小学教育系的四个班级，课后通过调查问卷与作业测试来检测学生对对数概念的理解程度。

在概念的理解上，80.6%的学生表示能够理解对数的概念，情况较理想。79.2%的学生能够判断想出“log”与“a”“N”之间的关系，记住了指数与对数的互化形式及符号表示，比如，计算“log2■=？”“log381=？”时，正确率到达了86%，由于学生的数学基础较差，对本节课的掌握情况能够达到上述情况是比较理想的。

在教学形式上，90%的学生对数学史融入数学课堂的教学方式比较感兴趣，持支持态度。大部分学生认为教师将丰富的数学背景知识融入课堂，能够增强学习兴趣，拓宽知识面，更容易掌握知识，同时也被数学家艰苦奋斗、敢于突破的创新精神所敬佩。

五、结语

HPM视角下“对数概念”的教学优势是比较明显的。教师根据学生在理解对数概念时可能遇到的问题，设计出具有针对性的教学案例，在课堂上重现了对数概念发明的过程，以史为鉴，效果颇好。同时，通过给学生讲述对数概念的演变过程，能够让学生追寻大师的足迹、领略大师的风采，体会大师坚持不懈、勇于创新的精神。

参考文献：

[1]吴晨昊.HPM视角下的“对数概念及其运算”的教学[J]. 数学教学，2016（12）：37-41.

[2]金惠萍，王芳.HPM视角下的对数概念教学[J].教育研究与评论（中学教育教学），2014（9）：28-34.

◎编辑 武生智