深海油田电潜泵长距离变频驱动系统分数阶建模及起动电压降分析

夏鹏程，梁志珊，左信

中国石油大学(北京)地球物理与信息工程学院，北京 102249

0 引言

在深海油田开发中，电潜泵等水下采油设备的供电电源和变频器通常放置于海上采油平台，变频器和电机之间存在几十公里的距离，需要用长电缆连接(图1)。这样，就由变频器—长电缆—电潜泵构成了深海油田IEESP系统(Inverter-Electric cable-Electric submersible pump，简称IEESP)。

目前，实现了从海上平台变频器到电潜泵长距离供电的有北海北部的Otter油田，其电缆长度达到21 k m[1]。BP石油公司在墨西哥湾最长供电距离为29 k m的变频器系统[2]。西门子公司的ESP 30 km长距离供电案例是最新的最长记录。国内流花油田变频器与电潜泵距离长达15.5 km[3]。随着海底油田的进一步开发与生产，实际工程要求使用比已有IEESP更长的海底电缆。

IEESP系统整数阶模型研究发现，采取变频器长电缆驱动技术，虽然带来了谐波污染和PWM脉冲波电压等问题[4-7]，但是实现了软启动，消除了大启动电流对电泵机组的机械和电力冲击[8]。然而，由于电缆距离过长以及定子电阻电压损耗严重，电机磁通经常出现严重衰减，导致无法正常起动。所以，通常需要采取对长电缆以及定子电阻的压降进行补偿，保证电动机正常起动[9]。当前，某海洋油田工程面临电潜泵经40 km长电缆变频驱动是否可行的难题，包括：长电缆电压降的变化规律，变频器输出起动电压频率和升压变压器补偿电压设计等问题。对于这些实际工程问题，国内外还没有相应的行业标准和规范，需要进行研究和探索。

图1 深海油田电潜泵长距离变频驱动系统Fig. 1 Long distance electric submersible pump frequency drive system in deep sea oil fi eld

分数阶微积分(Fractional Calculus，简称FC)提供了一个更精确的物理系统模型，能够反映系统内在的耗散过程，特别是在电路中，分数阶模型已经广泛用于模拟电路和元件(电阻、电感、电容、多米诺梯子，树形结构，忆阻器等等)。常用FC定义有Riemann-Liouville (简称RL)、Liouville-Caputo (简称LC)[10]。电容、电感和电阻存在不同时间尺度上的波动或分形特征。电气元件异质性的存在，会造成不可逆的耗散效应。由于导体的趋肤效应和介质的松弛现象，在描述电压电流波传播过程时，电缆和传输线分数阶模型比整数阶模型更有优势[11-12]。已有研究表明，实际系统在理论上都应该是分数阶次的[13-16]，只是由于分数阶理论的滞后而使得所使用的数学模型都是整数阶次。分数阶模型对于更长距离的IEESP系统有多大影响？这是IEESP系统设计和运行非常关注的问题。

常用的RL和LC分数阶定义的缺点是他们的内核具有奇异性，这个内核包括记忆效应，因此，这两种定义都不能准确描述记忆的全部影响。在传统的Caputo分数阶导数定义中，分数阶电容参数的物理单位[17-18]是F/s1-n，分数阶电感参数的物理单位[19]是VsαA-1。在电容参数和电感参数的物理单位中含有分数阶阶次n和α，这意味着它们的物理单位是随分数阶阶次变化的。而整数阶电容的物理单位是F(法拉)，整数阶电感的物理单位是H(亨利)。很显然，分数阶与整数阶定义下基本物理量的单位不一样，使得分数阶电容和分数阶电感的物理含义有所不同。由于分数阶阶次是随元件结构空间变化的，意味着含分数阶阶次的单位也是随空间变化的。分数阶忆阻器与电容电感串联电路[20]、分数阶LC串并联电路[21-22]、LCL型电路[23]、滤波电路[24-25]和分数阶模拟电容和模拟电感电路[26]等已有的系统理论研究均忽略了电容电感的物理单位问题。作者认为分数阶和整数阶微积分作为一种数学分析计算工具，在使用过程中对于电感元件和电容元件物理现象与元件参数应该是一一对应统一的。

Caputo和Fabrizio提出了一个新的分数阶导数定义，即Caputo-Fabrizio分数阶(简称CF)[27]，无奇异的内核，这个定义可以描述与损伤、疲劳以及材料其他非均质性相关的力学性能。这个定义的新颖之处在于，它们具有规则的核心，不含奇异核，可以视为一个滤波调节器[28]。Caputo-Fabrizio分数阶定义具有广泛的应用[29-30]。

本文针对深海油田40 km长电缆变频驱动电潜泵，分数阶的电感和电容物理单位与整数阶不统一等问题，用Caputo-Fabrizio分数阶导数定义建立了物理单位统一的IEESP系统分数阶模型，研究了IEESP系统分数阶系统起动电压降的变化规律。通过分数阶模型与整数阶模型的对比分析，改进了升压补偿措施，抵消了起动电压降的影响。

1 长电缆分数阶模型

模型采用均匀传输线模型来分析变频器输出电压波的传输过程。均匀传输线由一系列集总元件电阻、电感、电容和电导构成，即假设它是由许多无穷小的长度dx组成的，每个长度元dx具有电阻R0dx和电感L0dx，而两导线间具有电容C0dx和电导G0dx(图2)。

图2中，R0为长线电缆每单位长度具有的电阻，其单位为Ω/km；L0为长线电缆每单位长度具有的电感，其单位为mH/km；C0为每单位长度长线电缆两线之间的电容，其单位为uF/km；G0为每单位长度长线电缆两线之间的电导，其单位为S/km。

电力电缆系统的传输线方程，在频域中表示如下：

图2 均匀长线电缆模型Fig. 2 Model of uniform long line cable

其中，为传输线上任意一点电压，V；为传输线上任意一点电流，A；Z为传输线单位长度的阻抗矩阵，Ω/km；Y为传输线单位长度的导纳，S/km。Z=R+jωL，R为传输线单位长度的电阻，Ω/km；L为传输线单位长度的电感，H/km。一般情况下，由于导体与大地的集肤效应，Z的参数都会随频率变化。Y=G+jωC，G为传输线单位长度的电导，S/km；C为传输线单位长度的电容，F/km，Y一般看做是非频变的。

1.1 建模理论

传统的电感元件和电容元件建模使用时间函数f(t)的Liouville-Caputo分数导数(LC)，定义如下

本文引入Caputo-Fabrizio分数导数(CF)，定义如下是关于t的LC导数，nN

CF分数阶导数式(4)的拉普拉斯变换定义如下

对于这种在时域上的方程，可以使用Laplace变换

用分数算子代替整数算子

其中n为整数，且α的物理单位是秒的分数维。这样就抵消了分数阶导数作用于时间t产生的物理单位秒的分数维。传统常用的RL和LC分数阶定义是把电容电感的物理单位乘上一个秒的分数维来平衡单位统一的问题，但那样做使得分数阶电容量和电感量与整数阶的数值不一样了，单位也不同，无法确定分数阶电容量和电感量与整数阶是否存在一对一等效关系。而本文的CF分数阶导数定义就解决了这样问题，统一了分数阶和整数阶的基本物理量单位，使得分数阶电容量和电感量与整数阶的一样，奠定了对比分析的统一参考平台。当γ=1时，式(8)和(9)成为一个普通的导数。

1.2 建模方法

我们将这种方法应用于电缆模型RLCG电路中。假设将电缆平均分成n段，如图1所示，考虑在某一个RLCG单元中，由基尔霍夫定律可得

其中，k∈[1,n]，首端uC,0(t) =vin为变频器输出电压

其中，k∈[1,n]，末端iL,n+1(t) =is为电机定子电流。

把式(11)代入式(10)得到

根据(8)和(9)的变换，由(12)可得分数阶的表达式为

设分数阶角频率ωγ，分数阶时间常数τγ

则式(13)可简化为

建立电缆分布参数分数阶微分方程组来描述传输线的电压电流波

因此，当电潜泵起动时长电缆电压降与起动电压频率、电缆长度、电缆阻抗特性、电机负载阻抗特性以及分数阶阶次等有关。

2 IEESP系统仿真与分析

2.1 系统仿真

基于改进的Oustaloup滤波器分数阶微积分算法和式(17)构建Matlab/Simulink数学模型[8]。在IEESP分数阶系统中，电潜泵起动电压降受到起动电压频率、电缆长度、电缆分布电阻、电缆分布电感、电缆分布电容参数、负载特性阻抗和分数阶阶次等7个参数的影响。

某深海油田工程提供了海底电缆和井下电缆的典型参数(表1)。在模型中电缆分布电阻为0.34 Ω/km、电缆分布电感为0.38 mH/km、电缆分布电容为0.29 μF/km、变频器输出电压为6000 V，电潜泵起动时的等效阻抗为1.36 Ω。当模型其他参数变化时，整数阶模型中的电感电容参数阶次是1，分数阶模型中电感电容参数阶次是0.8。

(1)起动电压频率

在电潜泵起动的瞬态过程中，起动电压频率越大，长电缆电压降瞬态幅值越小(图3)。

分数阶模型仿真表明：当起动电压正弦波频率f1～f5从10 Hz递增到50 Hz时，长电缆电压降幅值Ufo(U1～U5)从 5074 V减小到 4592 V，是变频器输出电压(U0)的84.57%～76.53%。整数阶模型仿真表明：长电缆电压降幅值Uio(U1～U5)从5121 V减小到2771 V ，是电源电压的85.35%～46.18%。随着起动电压频率增大，整数阶模型与分数阶模型的相对偏差绝对值|Uio-Ufo|/U0越来越大，分别是0.78%、10.07%、19.35%、25.93%、30.30%。起动电压频率越高，分数阶模型由于考虑了趋肤效应，计算的电压波在长电缆上的传播损耗更高，而整数阶模型没有包含这部分损耗，所以计算出的长电缆电压降比分数阶模型的计算结果小。说明分数阶模型比整数阶模型能更准确地反映IEESP系统电潜泵变频起动过程中长电缆电压降和不可逆的耗散效应。

表1 深海电缆典型参数Table 1 Typical parameters of deep-sea cable

图3 起动电压频率对电压降的影响(a)分数阶(b)整数阶Fig. 3 The effect of starting frequency on voltage drop: (a) fractional order;(b) integer order

(2)电缆长度

在电潜泵起动的瞬态过程中，电缆越长，长电缆电压降瞬态幅值越大(图4)。

分数阶模型仿真表明：当电缆长度l1～l5从20 km递增到60 km时，长电缆电压降幅值Ufo(U1～U5)从4373 V 增大到5354 V，是U0的72.88%～89.23%。整数阶模型仿真表明：长电缆电压降幅值Uio(U1～U5)从4251 V 增大到5455 V，是U0的70.85%～90.92%。随着电缆长度增加，整数阶模型与分数阶模型的相对偏差绝对值|Uio-Ufo|/U0先减小后增大，分别是2.03%、0.30%、0.78%、1.22%、1.68%。

(3)电缆分布电阻

在电潜泵起动的瞬态过程中，电缆分布电阻越大，长电缆电压降瞬态幅值越大(图5)。

分数阶模型仿真表明：当电缆分布电阻R1～R5从0.14 Ω/km递增到0.54 Ω/km时，长电缆电压降幅 值Ufo(U1～U5)从 4191 V增 大 到 5385 V， 是U0的69.85%～89.75%。整数阶模型仿真表明：长电缆电压降幅值Uio(U1～U5) 从3872 V增大到5517 V，是U0的64.53%～91.95%。随着电缆分布电阻增大，整数阶模型与分数阶模型的相对偏差绝对值|Uio-Ufo|/U0先减小后增大，分别是5.32%、0.88%、0.80%、1.8%、2.20%。

图4 电缆长度对电压降的影响(a)分数阶(b)整数阶Fig. 4 The effect of cable length on voltage drop: (a) fractional order; (b) integer order

(4)电缆分布电感

在电潜泵起动的暂态过程中，电缆分布电感越大，长电缆电压降瞬态幅值越大(图6)。

分数阶模型仿真表明：当电缆分布电感L1～L5从0.18 mH/km递增到0.58 mH/km时，长电缆电压降幅值Ufo(U1～U5)从5070 V增大到5077 V，变化幅度不大，是U0的84.5%～84.62%。说明长电缆电压降对电缆分布电感参数不敏感。整数阶模型仿真表明：长电缆电压降幅值Uio(U1～U5)从5164 V减小到5069 V，是U0的86.07%～84.48%。电缆分布电感参数对电缆电压降的影响出现反常现象。随着电缆分布电感的增大，分数阶模型的电压降变化趋势是递增的，整数阶模型的电压降变化趋势是递减的。随着电缆分布电感增大，整数阶模型与分数阶模型的相对偏差绝对值|Uio-Ufo|/U0越来越小，分别是1.57%、0.97%、0.78%、0.50%、0.13%。

(5)电缆分布电容

在电潜泵起动的瞬态过程中，电缆分布电容越大，长电缆电压降幅值瞬态幅值越小(图7)。

分数阶模型仿真表明：当电缆分布电容C1～C5从 0.09 μF/km递增到 0.49 μF/km时，长电缆电压降幅值Ufo(U1～U5)从 5073.85 V减小到 5073.72 V，变化幅度不大，是U0的84.564%～84.562%。说明长电缆电压降对电缆分布电容参数不敏感。整数阶模型仿真表明：长电缆电压降幅值Uio(U1～U5)从5138 V减小到5105 V，是U0的85.63%～85.08%。随着电缆分布电感增大，整数阶模型与分数阶模型的相对偏差绝对值|Uio-Ufo|/U0越来越小，分别是1.07%、0.95%、0.79%、0.67%、0.52%。

图5 电缆分布电阻对电压降的影响(a)分数阶(b)整数阶Fig. 5 The effect of cable distribution resistance on voltage drop: (a) fractional order ; (b) integer order

(6)负载电阻

在电潜泵起动的瞬态过程中，负载电阻越大，长电缆电压降瞬态幅值越大(图8)。

分数阶模型仿真表明：当负载电阻Rm1～Rm5从0.36 Ω递增到2.36 Ω时，长电缆电压降幅值Ufo(U1～U5)从4514 V增大到5171 V，是U0的75.23%～86.18%。整数阶模型仿真表明：长电缆电压降幅值Uio(U1～U5)从4590 V 增大到5216 V，是U0的76.5%～86.93%。随着负载电阻增大，整数阶模型与分数阶模型的相对偏差绝对值|Uio-Ufo|/U0越来越小，分别是1.27%、0.87%、0.80%、0.77%、0.75%。

(7)分数阶阶次

图6 电缆分布电感对电压降的影响(a)分数阶(b)整数阶Fig. 6 The effect of cable distributed inductance on voltage drop: (a) fractional order; (b) integer order

分析负载电感阶次、电缆分布电感阶次和电缆分布电容阶次对长电缆电压降的影响。

1)负载电感的分数阶次

在电潜泵起动的瞬态过程中，负载电感的分数阶次越大，长电缆电压降瞬态幅值越小(图9)。

电缆分数阶模型仿真表明：当负载电感阶次m1～m5从0.2递增到1.0时，长电缆电压降幅值Ufo(U1～U5)从5605 V减小到5073 V，是U0的93.42%～86.67%。但U4＜U5＜U3，而且电压降相位发生了右移，1.0阶次时比0.2阶次的电压降相位滞后7/50π。电缆整数阶模型仿真表明：长电缆电压降幅值Uio(U1～U5)从5599V减小到5037 V，是U0的93.32%～85.35%。但U4＜U5＜U3，而且电压降相位发生了逐渐右移，阶次1.0比0.2的长电缆电压降相位滞后4/25π。随着负载电感阶次增大，整数阶模型与分数阶模型的相对偏差绝对值|Uio-Ufo|/U0越来越大，分别是0.10%、0.13%、0.25%、0.60%、1.32%。

2)电缆分布电感的分数阶次

在电潜泵起动的瞬态过程中，电缆分布电感的分数阶次越大，长电缆电压降瞬态幅值先小幅增大后减小(图10)。分数阶模型仿真表明：当电缆分布电感分数阶阶次α1～ α5从0.5递增到0.9时，长电缆电压降幅值Ufo(U1～U5)分别是5074 V、5075.8 V、5076.2 V、5073.8 V、5064 V，是U0的84.57%～84.4%。

图7 电缆分布电容对电压降的影响(a)分数阶(b)整数阶Fig. 7 The effect of cable distributed capacitance on voltage drop:(a) fractional order; (b) integer order

3)电缆分布电容的分数阶次

在电潜泵起动的瞬态过程中，随电缆分布电容的分数阶次增大，长电缆电压降瞬态幅值先小幅增大后减小(图11)。分数阶模型仿真表明：当电缆分布电容分数阶阶次β1～ β5从0.5递增到0.9时，长电缆电压降Ufo(U1～U5)幅值分别是5074.05 V、5074.1 V、5074 V、5073.8 V、5073.2 V，是U0的84.57%～ 84.55%。

2.2 关于分数阶与整数阶模型问题的讨论

对比IEESP系统分数阶模型和整数阶模型的仿真结果可知，电潜泵起动电压降的变化规律如表2所示。

分数阶模型和整数阶模型的计算偏差来源于电感、电容元件的阶次。在变频器、长电缆和电潜泵的模型中，整数阶的电感和电容只在理论上存在而在实际中并不存在，基于分数阶微积分理论建立的电感和电容模型更能反映其实际系统的电特性，以往用来描述电感和电容电特性的整数阶模型是不够准确的，由此得到的某些结论甚至可能是错误的。

由表2可以看出：(1)当电缆分布电感变化时，分数阶模型的长电缆电压降的变化趋势与整数阶模型相反。(2)当电缆长度和电缆分布电阻参数发生变化时，分数阶模型的长电缆电压降与整数阶模型的相对偏差绝对值呈现V形分段，先减小后增大。(3)电潜泵起动电压降的变化规律可以为升压变压器补偿电压设计提供理论依据。从模型最大相对偏差推出，补偿电压应比传统设计的高三分之一。

研究结果表明，基于Caputo-Fabrizio分数阶微积分建立的IEESP系统分数阶模型不含奇异核，统一了分数阶电容电感参数与整数阶的物理量纲，厘定了分数阶模型与整数阶模型计算对比平台，比传统模型能更加准确地描述深海长电缆电力传输特性。因此，采用Caputo-Fabrizio分数导数定义建立的长电缆分数阶模型是合理的。

由表3可以看出，电缆长度l在20 km～60 km的范围内，分数阶模型计算出的电潜泵起动电压降Ufo逐渐增大，但是起动电压降的增幅ΔUfo越来越小，分别为446 V、225 V、165 V、115 V；增幅与变频器输出电压的比值ΔUfo/U0也越来越小，分别是7.43%、4.25%、2.75%、1.92%。整数阶模型计算出的电潜泵起动电压降Uio逐渐增大，但是起动电压降的增幅ΔUio越来越小，分别是550 V、320 V、191 V、143 V ；增幅与变频器输出电压的比值ΔUio/U0也越来越小，分别是9.17%、5.33%、3.18%、2.38%。两种模型对比发现，分数阶模型比整数阶模型计算的电潜泵起动电压降更小，起动电压降的增幅更小，增幅比也更小。根据分数阶模型计算结果，电缆长度超过40 k m后，电潜泵起动电压降的增量越来越小，升压变压器补偿电压的负担也越来越小，补偿电压设计方案比较容易实现。

图8 负载电阻对电压降的影响(a)分数阶(b)整数阶Fig. 8 The effect of load resistance on voltage drop:(a) fractional order; (b) integer order

图9 负载电感分数阶次对电压降的影响(a)分数阶(b)整数阶Fig. 9 The effect of load inductor fractional order on voltage drop:(a) fractional order ; (b) integer order

图10 电缆分布电感分数阶次对电压降的影响Fig. 10 The effect of load cable distribution inductance fractional order on voltage drop

图11 长电缆电压降与电缆分布电容分数阶阶次的关系Fig. 11 The relationship between the voltage drop of long cable and the order order of the distributed capacitance of the cable

表2 电潜泵起动电压降的变化规律Table 2 Change rule of electric submersible pump starting voltage drop

表3 电潜泵起动电压降与电缆长度的关系Table 3 Relationship between starting voltage drop of ESP and cable length

3 结论

(1)基于Caputo-Fabrizio分数阶微积分建立了变频器—长电缆—电潜泵系统分数阶模型，厘定了分数阶与整数阶量化比较标准平台，比传统模型能更加准确地描述深海长电缆电力传输特性。

(2)研究了起动电压频率、电缆长度、电缆分布电阻、电缆分布电感、电缆分布电容参数、负载特性阻抗和分数阶阶次等因素对电潜泵起动电压降的影响。发现电缆分布电感参数对电缆电压降的反常影响。

(3)分数阶模型与整数阶模型的计算结果相对偏差绝对值变化范围是0.10%～30.35%，特别是当电缆长度和电缆分布电阻参数变化时，模型的相对偏差绝对值呈先减后增的V形分段。升压变压器补偿电压需要比传统设计的高三分之一。基于分数阶模型分析了起动电压降，认为在实际应用中电潜泵变频驱动电缆可以超过40 km。