改进的间隙约束模型对管动力学特性的影响

蒋天泽， 李朋洲， 孙 磊， 马建中， 谭添才

(中国核动力研究设计院， 四川 成都 610041)

0 引 言

通常，蒸汽发生器中多跨管路大多由孔板或防振条支撑，处于两相流作用下.因安装误差或松动，孔板或防振条与管之间存在一定的间隙，称为间隙约束.当外部横流流速较大时传热管会发生流弹失稳，产生大幅振动，并与间隙约束发生碰撞磨蚀，使得传热管管壁变薄而发生泄漏，影响装置的营运安全.研究发现，在该过程中，传热管将产生许多复杂的非线性动力学行为，而用线性理论将无法准确描述传热管失稳后的动力学响应[1-2].针对此问题，科研人员进行了深入分析并取得了大量研究结果[3-10].但在上述研究中的非线性支撑模型大多使用了简化的三次弹簧模型，该支撑模型实际上是与管一直接触的，只能称为松弛的支撑，无法考虑管与支撑存在间隙时对管振动特性的影响.对此，一些学者通过对间隙非线性项进行改进来分析该问题[11-12].在此基础上，本研究拟对间隙支撑模型进行改进，并采用两相流作用下旋转三角形管束的流体力测量数据建立悬臂管模型.通过求解方程，对比了改进后的间隙约束模型与简化的三次弹簧模型，以及支撑阻尼对管的动态力学特性的影响.

1 分析模型

1.1 间隙约束模型

本研究讨论的有间隙支撑的悬臂管模型如图1所示.

图1有间隙支撑的悬臂管模型

针对图1模型，文献[2]首先将支撑约束与圆柱管的碰撞力简化为与管接触的三次弹簧，其表达式为，

(1)

式中，wb为约束处圆柱管的振幅，κ为三次弹簧的无量纲刚度.

式(1)中的碰撞力随着管子振动是光滑连续的，并未考虑管与支撑间存在间隙时对碰撞力及管振动特性的影响.对此，本研究假设管与约束之间存在一定的间隙，且考虑支撑的阻尼力.当管的振幅小于间隙距时，约束不与其发生碰撞，而当振幅大于间隙距时，碰撞力与位移为三次关系.若悬臂管距上支撑距离WU，距下支撑距离WL，则改进的间隙约束模型可表达为，

(2)

式中，ec为偏心距，ec=(wU-wL)/2；Cimp无量纲为支撑阻尼系数，其表达式为，

(3)

式中，β为阻尼参数，由碰撞体的恢复系数得到，本研究中取钢的阻尼系数为0.25 s/m.

可以认为，本模型是较为全面考虑间隙刚度、间隙大小、非连续碰撞以及支撑阻尼的碰撞模型.

1.2 悬臂管模型

在图1中，取在两相横流作用下位于旋转三角形管束中间的自由管，则管模型可简化为一端与管板固定支撑而另一端自由的欧拉—伯努利悬臂梁模型，且仅考虑与横向流垂直的升力方向振动.由于悬臂梁模型一端自由，因此假设在振动过程中梁中线不可伸长，不考虑轴向力对振动的影响.文献[13]在欧拉—伯努利悬壁梁模型的基础上推导出横向流作用下的管运动微分方程为，

(4)

根据文献[14]提出的准稳态流体力模型，传热管升力方向所受横流作用流体力可表达为，

(5)

引入以下无量纲量，对运动方程进行无量纲化，有，

(6)

式中，变量或常数上带有波浪号代表相应量的无量纲数，L为管长度，ζ为空间坐标的无量纲量，τ为无量纲时间，ζ为无量纲阻尼，λ1为管振动的一阶频率.将以上无量纲量带入管运动微分方程，得到无量纲运动方程，

(7)

采用Galerkin法将无限维偏微分方程离散为低阶的便于求解的常微分方程组，运用欧拉—伯努利悬臂梁的模态函数φi和离散系统的广义坐标qi，假设解的形式为，

(8)

带入无量纲运动方程可得，

(9)

2 动态特性分析

2.1 间隙约束模型与三次弹簧模型的对比

1)采用三次弹簧模型，弹簧刚度κ=1×103，利用空泡份额为50%时的流体力数据及相关参数，对方程求解后得到如图2的随无量纲流速变化的分岔图.图2中，UH为Hopf分岔流速，Upf为叉型分岔流速，Upd为倍周期分岔流速.

从图2可以观察到，随着流速的增加系统经历了Hopf分岔、叉型分岔、倍周期分岔和混沌运动.这是一个十分典型的系统分岔并最终演化为混沌的非线性动力学行为.

图2三次弹簧模型的系统随流速变化的分岔图(κ=1×103)

2)选用改进的间隙约束模型，刚度分别选κ=1×103和κ=6×103，间隙大小为wU=wL=0.03，暂不考虑支撑阻尼.通过求解方程得到如图3的系统随无量纲流速变化的分岔图，图3中，UH为Hopf分岔流速，Upf1为第一叉型分岔流速，Upf2为第二叉型分岔流速、Upd为倍周期分岔流速.其中Hopf分岔点UH为管发生流弹失稳的临界流速.

(a)κ=1×103；(b)κ=6×103

图3间隙约束模型的系统随流速变化的分岔图

从图3可以看到，非线性支撑项的不同对其大小没有影响.将图3(a)与图2进行对比可发现，超临界流速后采用了改进的间隙约束时，系统发生了更为复杂的非线性动力学行为.系统经历了Hopf分岔、第一叉型分岔，并经历了较短的混沌区域后发生了第二次叉型分岔，然后又经历较长的时间才到达倍周期分岔点，之后便很快地发展为更广泛的混沌运动，且第二分岔点后的轨迹线存在一处小范围的畸变破裂，在混沌运动中存在一片空白的窗口区域(见图3(b))，当弹簧的刚度增加为6×103后，系统的分岔图变得更为复杂，并在第二叉型分岔点到倍周期分岔点Upf2之间的分岔路径发生较大范围的畸变破裂，形成一片新的混沌运动区域，且已不能容易分辨出倍周期分岔点Upd的位置，之后进入更复杂更大范围的混沌运动.

3)为了说明系统第一叉型分岔后的运动形态变化过程，提取了当支撑刚度为6×103时，无量纲流速分别为0.9、1.1、1.4、1.6、1.7、1.8时悬臂管自由端的相图如图4(a)～(f)所示.

图4 悬臂管自由端运动的相图

2.2 支撑阻尼对管动态特性的影响

为对比改进后的间隙约束模型中支撑阻尼对管的非线性动态特性的影响，选取支撑刚度为6×103，并采用空泡份额为50%时的流体力数据及相关参数，选取无量纲间隙尺寸0.01和0.03分别进行讨论.

间隙尺寸分别为0.01和0.03时无支撑阻尼和考虑支撑阻尼的间隙约束模型对悬臂管动态特性影响的对比如图5、6所示.

(a)无支撑阻尼；(b)考虑支撑阻尼

图5间隙尺寸为0.01时支撑阻尼对动态特性的影响

从图5、6可以观察到，支撑阻尼对第二叉型分岔点之前的动态特性影响不大，但在第二叉型分岔点之后的分岔路径发生了较大变化.当间隙尺寸为0.01时，考虑支撑阻尼的第二叉型分岔点之后的分岔路径没有发生扩散，且倍周期分岔提前发生，使得混沌区域范围增大.而当间隙尺寸为0.03时，支撑阻尼使得第二分岔点之后的动态特性变得更加复杂，多处分岔路径发生畸变破裂，之后混沌区域也变得复杂，边缘变得模糊，各典型分岔点变得难以识别.实际工程中，管与支撑接触后不仅产生碰撞力，也存在一定的阻尼力.本研究认为，为了更为准确地描述间隙约束对管振动特性的影响，并为进一步研究管与支撑的碰撞磨蚀，有必要考虑支撑的阻尼.

(a)无支撑阻尼；(b)考虑支撑阻尼

图6间隙尺寸为0.03时支撑阻尼对动态特性的影响

3 结 论

本研究在三次弹簧模型的基础上，加入了考虑间隙和支撑阻尼的改进的间隙约束模型.采用该模型和两相流的流体力数据，建立了有间隙约束的悬臂管的动力学方程.通过数值求解，对比了改进后的间隙约束模型与三次弹簧模型，同时讨论了支撑阻尼对管振动特性的影响.由于间隙非线性，改进的间隙约束模型较三次弹簧模型使系统发生了更为复杂的非线性动力学行为：系统随着流速的增加发生了Hopf分岔、第一叉型分岔、第二叉型分岔、倍周期分岔、混沌运动及混沌窗口期等非线性现象；增大支撑刚度后，第一叉型分岔点后的分岔轨迹线发生畸变破裂使得混沌区域增大且各典型分岔点变得难以识别；支撑阻尼使得第一分岔点后的分岔轨迹线发生变化，倍周期运动提前从而使得混沌区域增大.研究表明，改进的间隙约束模型较三次弹簧模型更为接近工程实际，这为下一步更为准确地分析间隙支撑对管振动特性的影响以及管与支撑的碰撞及磨蚀的研究提供了理论基础.