关于几个典型的刚体运动问题中被动力作用的教学讨论

崔乃毅 米仪琳 孙连亮 李春磊 毛志国

(北方工业大学理学院，北京 100144)

被动力存在于有约束的物体运动问题中。例如，滑动摩擦力和静摩擦力,轨道对质点的约束力等。在刚体的有轴转动中，轴对刚体的约束力也是被动力。相对质点运动问题，被动力的存在在刚体运动问题中更不易直观。教学中，忽视对这一问题的讲解可能导致学生错误地理解刚体运动甚至错误地求解问题。本文结合几个典型习题，就刚体碰撞中的被动力问题做一些讨论。

1 小球撞悬挂杆问题

这是一类典型的被动力问题，这类问题的最普遍的教学难点是总有相当比例的学生不理解此类碰撞中动量为何不守恒，而错误地对小球-杆二体系统用动量守恒定律求解[1]。教学中，一般是讨论整个小球-杆二体系统在碰撞中的动量变化来说明这一问题，但过程相对繁琐[2,3]。而讨论杆的悬挂轴处的被动力会使问题变得简化，同时也直接切入了该问题中动量不守恒的关键[4]。为此，只把杆纳入讨论即可，把小球对杆的碰撞简单表示为一个冲量。设匀质细杆的质量为M,长为L，无摩擦悬挂轴距杆的中点(质心)C的距离为x。初始时杆静止于竖直方向,一大小为I的水平冲量作用于杆的下端(见图1(a))。

图1 小球-杆二体系统(a)小球与悬挂杆碰撞；(b)小球与自由杆碰撞；(c)刚体摆碰撞问题的一个例子

为使描述尽量简单以便于学生理解，仅讨论水平方向的动量。学生一般认同使用关于悬挂轴的角动量定理求解这一碰撞过程,因此仍使用这一方法。这里略去推导过程，很易得到碰撞后杆绕轴的角速度如下：

(1)

这里转动正向为逆时针，冲量正向向右。再利用碰撞后的瞬间杆的质心速度公式vC=ωx，即得悬挂轴对杆的冲量Ip=ΔMvC-I

(2)

显然，此式并不永远为零，表明碰撞中悬挂轴对杆确实施加了水平作用力，使小球-杆二体系统的动量发生变化。该力的冲量即由该式定量计算。式(2)还指出，决定Ip的值和指向的最重要因素是悬挂轴在杆上的位置x，并且依x不同，Ip可能向右，也可能向左。当Ip向右时，小球和杆的二体系统的总的水平动量增加，反之减少。至此，学生已经能够理解为何该碰撞过程动量是不守恒的。

从由式(2)确定的Ip/I随x/L变化的函数曲线(见图2)可以清楚地看到，在x>L/6区间，Ip>0，与I同向，碰撞后二体系统的总水平动量增大；在x

x=L/6

(3)

时，Ip=0，表明此时悬挂轴对杆没有水平力。只有当悬挂轴选在这一点时，小球-杆二体系统同时满足水平方向的动量守恒和关于悬挂轴的角动量守恒条件。可见，这一碰撞问题中体系动量守恒与否只与悬挂轴在杆上的安装位置有关，与小球和杆的质量、小球与杆之间的碰撞是弹性或非弹性等因素均无关。

图2 小球撞悬挂轴问题中悬挂轴对杆的被动力冲量Ip与轴的位置的关系，图中横轴为比值x/L，纵轴为比值Ip/I

另两个特殊点是x=0和x=L/2，前者是把轴安装在杆的中点，此时由式(2)得Ip=-I，碰撞中杆受到的水平总冲量为零，质心不动，碰撞传递给杆的动量全部被Ip抵消，I的作用只是对杆产生了绕质心C的转动。后者是悬挂轴处于杆的上端。这时由式(2)得到碰撞中轴对杆的冲量为Ip=I/2，二体系统向右的总水平动量增加了I/2。

前面讨论的问题与小球与无悬挂点的自由杆的碰撞问题密切相关。如图1(b)，如沿水平面在杆的一端沿垂直于杆的方向敲击静止放置于光滑的水平面上的匀质细杆，则敲击前后杆上保持不动的点的位置(转动瞬心)即为距杆的中心x=L/6处。

2 摩擦轮问题

图3 摩擦轮问题

如图3，两摩擦轮半径分别为R1和R2, 其绕过中心且垂直于轮面的光滑轴的转动惯量分别为J1和J2。轮1以角速度ω转动，轮2静止不动。如将两轮边缘接触，则摩擦将使轮2转动起来，直到最后接触点处两轮线速率相同因而两轮间不会再存在滑动[5]。该过程中，如果转动轴不存在，两轮接触后接触点处的作用力将使两轮分别向图中的上方和下方飞走。而转动轴的存在制止了这种运动。因此转动轴处必存在被动力。设接触点处摩擦力的总冲量的大小为I，由角动量定理，对两轮分别有

(4)

式中ω1和ω2分别为两轮接触后接触点处滑动消失后两轮各自的角速度，它们之间满足关系式ω1R1=ω2R2。利用此式可在式(4)中消去两个角速度得到I的表达式：

(5)

式(5)表明，只要ω0≠0，则两轴处必有被动力。这个冲量的产生要求接触点处存在滑动摩擦。但冲量值并不与摩擦系数有关。

3 刚体摩擦加速问题

图4 刚体摩擦加速问题

见图4，将一个质量为M转动惯量为J，半径为R，以角速度ω0旋转的轮子保持竖直并缓慢地放到非光滑的地面上，接触点处的被动力将使轮子加速，直至最后进入纯滚动状态。整个摩擦加速过程被动力f的总冲量可以如下求得。圆盘的平动速度v和转动角速度ω应满足的动力学方程分别为

此处J为圆盘的转动惯量。将两方程联立消去f后所得到的新方程两边可对整个加速过程积分，取积分上、下限分别为初始条件和纯滚动条件ω=v/R，即

(6)

由式(6)解出v=ω0R/(1+MR2/J)。此即为纯滚动发生后圆盘的滚动速度。圆盘获得这一速度的唯一原因是接触点处的力，因此这一过程中接触点处的被动力的冲量即为圆盘质心获得的动量：

I=Mv=Mω0R/(1+MR2/J)

(7)

与前一个问题类似，这个冲量的产生也要求接触点处存在滑动摩擦，而冲量值与摩擦系数也无关。如果圆盘是匀质的，可把转动惯量J=MR2/2代入结果，得到I=Mω0R/3。

4 结语

以上对几个实例通过求被动力的冲量讨论了被动力在分析刚体动力学问题中的作用。涉及被动力的刚体力学问题很多。使学生正确理解和求解这类问题的关键是要说明有约束和无约束时刚体运动的不同是因为约束对刚体施加了力，即被动力。即约束是通过力作用于刚体的。比如在问题一中，如果学生定量计算出了悬挂轴施于杆的力的值，则很易理解杆的动量为何不守恒。因此，在研究刚体运动过程中决不能忽视被动力的存在，否则导致错误地求解问题。而这正是在目前大学物理教学中的薄弱环节。在分析力学中，可以用更加严密、更为快捷的办法计算约束力。