挑战“二次函数”之策略方法

2018-12-26杨春霞

初中生世界 2018年47期

关键词：蜜柚表达式二次函数

杨春霞

二次函数问题是《义务教育数学课程标准》（2011年版）要求掌握的基本问题，是中考的核心考点.那么中考中有哪些常见的考查方式呢？

从知识结构来看，初中学段的主要要求有：会画二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质；会用配方法将二次函数的表达式化成顶点式，得到二次函数图像的顶点坐标；能说出图像开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单问题等.

从知识背景来看，现实社会中有很多的实际问题属于二次函数问题.现代社会逐渐倾向于对同学们解决实际问题的能力和综合素养的培养与考查.因此，应用二次函数模型解决实际问题是中考考查的趋势所在.

从知识联系来看，二次函数常常与三角形、四边形等基本图形相结合，综合考查同学们利用数形结合、分类讨论、方程建模、转化等思想方法解决问题的能力.

下面，我们结合具体题目一起看一下在解决二次函数问题中常用的策略与方法.

一、抓住本质找联系，数形结合不可少

例1在平面直角坐标系xOy中，已知

（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值.

（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围.

（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应

【分析】（1）把点（1，k2）代入抛物线函数中，得到关于k的方程

（2）方法一：可以直接把点（2k，y1）和点（2，y2）分别代入抛物线表达式，得到y1=

再根据y1＞y2这个不等关系，得到关于k的不等式：

解这个不等式得k＞1.

方法二：也可根据二次函数的图像分类解决问题.由函数表达式的式结构，可以得到图像的形结构为开口向上，对称轴为直线x=k-1，接下来由y1＞y2，可以得到两种情况：

分别解上述两个不等式组，也可求得k＞1.

（3）考查函数图像的平移变换，根据“左加右减”，得到新的函数表达式为y=（x-也可先进行配方，得到顶点式y=［x-（k-1）］2再向右平移一个单位得到新的函.因此新抛物线的分1≤k≤2，k＞2以及k＜1三种情况讨论.

【点评】函数图像既可以通过点的坐标确定，又可以通过图形变换得到，需要同学们抓住变换的本质——点变换，从而以不变应万变.（2）（3）两问都需要结合函数图像进行分类讨论，将问题转化为不等式或方程问题.显然，数形结合仍然是解决函数问题的有效工具.

二、函数模型架桥梁，理解题意是关键

例2 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山，种植某品种蜜柚.到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图1所示.

图1

（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围.

（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由.

【分析】（1）由函数图像可知，销售量y与销售单价x之间满足一次函数关系，因此可以利用待定系数法解决.设函数表达式为y=kx+b，代入两点坐标（10，200）和（15，150），即可求得函数表达式为y=-10x+300，由于-10x+300≥0，所以x≤30，故x的取值范围为8≤x≤30.

（2）要求利润最大值，可以建立函数模型来解决.设利润为W，根据题意，得W=（x-8）（-10x+300）=-10（x-19）2+1210，再根据二次函数的图像与性质求出最大值，即当x=19时，利润最大值为1210元.

（3）由（2）可知，当x=19即销售单价为19元时，获得最大利润，此时每天销售量为y=-10x+300=-10×19+300=110，110×40=4400＜4800，故不能销售完这批蜜柚.

【点评】该实际问题利用了一次函数和二次函数模型进行解决，函数模型架起了一座从实际问题到数学问题的桥梁.其中，二次函数模型是求解实际生活中最值问题的常用的有效工具.一般解决步骤为：先根据题意建立两个变量，找到实际问题中的等量关系并求出函数表达式；再利用配方或公式法求出顶点，从而求出函数最值；最后结合实际情况进行检验，确定实际问题的最值.