一题多解 触类旁通

黄晚霞

解决问题是数学的核心，新课程标准重视对问题解决能力的培养，明确提出了课堂教学要形成解决问题的一些基本策略，让学生通过问题解决的活动过程体验方法、形成策略，让学生“经历从不同角度寻找分析问题、解决问题方法的过程，体验解决问题方法的多样性”.

作为一线教师，我们应当鼓励学生一题多解，使学生把所学的知识和方法有机结合、触类旁通，以达到对问题的全面理解，进而迅速准确的解决问题，由此大大提升学生分析问题和解决问题的能力，让学生从多角度、多方位去分析问题、解决问题，学会一题多解，以达到触类旁通，学一道题，会一类题的效果，也可以培养学生灵活、敏捷的思维能力，开阔学生的视野，让学生收获成功的喜悦.

本文以福州市2017-2018学年上学期九年级期末考试数学试卷填空题的第16题为例，谈谈在解题中如何从不同角度巧妙构思，挖掘题目内涵，触类旁通，开辟解题新途径，通过一题多解的训练，培养学生的发散性思维及联想能力，学会用不同的知识解决同一个问题，以加深对知识之间横纵发展的认识，同时在问题解决中培养学生的数学核心素养.

问题呈现 如图1，在△ABC中，AB：AC=7：3，∠BAC的平分线交BC于点E，过点B作AE的垂线段，垂足为D，则AE：ED=____.

本题题目看似简单，其实内涵丰富，从结论“求线段的比”出发，常规方法构造平行线或相似三角形，本题的核心问题是：如何构造平行线、相似三角形，以转化线段之间的比例关系？从已知条件出发，如何应用角平分线、垂线？本题值得我们关注的是：如何寻找解决问题的切入点？是否能综合利用多种知识，探索更多的解决问题的途径.

1 应用角平分线、垂线构造等腰三角形模型

关注已知条件，如何应用角平分线、垂线？能否利用题目告知的条件AD平分∠BAC，AD⊥ BD，構造等腰三角形？

1.1 构造等腰三角形△ABF，再利用平行线求线段比例

如图2，分别延长BD，AC交于点F，构造等腰三角形△ABF，根据等腰三角形性质可知AB= AF，已知条件“AB：AC=7：3”可转化为“AF：AC =7：3”，结合AE， ED，AC， AF的位置，容易联想到借助平行线、相似三角形把这些线段的比例联系起来.

法1如图3，分别延长BD，AC交于点F，

则△ABF是等腰三角形.

2.2 利用直角三角形斜边上的中线，构造平行线

已知条件“AD⊥ BD”可知△ABD为直角三角形，如何应用直角三角形性质？如何构造平行线？

法6如图8，取AB中点F，连接DF交BC于点G.根据直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”，可巧妙构造AF= DF，即AAFD为等腰三角形，再根据AD是∠BAC的角平分线，所以AC∥DF.以此，达到构造平行线的目的，同时构造中位线，利用三角形相似对应边成比例来解题.

本题用7种方法诠释了波利亚把“弄清问题”分成两个阶段，即“熟悉问题”和“深入理解问题”，有助学生形成良好的思维策略、触类旁通，有的方法大同小异，追本溯源，殊途同归，有的方法截然不同，纵观本题各种解法，都可以顺藤摸瓜，追寻根本，探索到源头之上，如构造等腰三角形，再利用平行线求线段比例;或直接构造平行线;如利用角平分线特点;再如利用直角三角形斜边中线等;或利用面积法，避开平行线、相似三角形求线段的比例，面积法也是转化线段比例关系的一个巧妙方法;若根据角平分线定理“三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例”也行.

数学解题的直觉，靠的不单是刹那间的开窍顿悟，更靠日常学习中的积累与渐悟，教学中，我们应当鼓励学生善于从不同角度观察、思考问题，善于总结问题的本质，善于抓住知识之间的横纵发展，勇于探索是形成数学解题直觉的关键，通过该问题的解法的探究，发展学生逻辑推理、数学模型、数学运算等核心素养的.

教学上，教师要精选典型习题，利用典型习题本身蕴含着非常丰富的知识内容及知识间的横纵向联系，培养学生综合运用知识、方法去分析问题、解决问题，达到触类旁通，学一道题，会一类题，在一题多解的训练中，不仅是思维灵活性得到了培养，更重要的是视野开阔，还有收获成功的喜悦.