一道2018福建省质检试题的评析与启示

曾建东

1 试题再现

题如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1-13分别对应2017年1月-2018年1月）

根据散点图选择y=a+b√x和y=c+dlnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为y=0.9369+0.0285√x和y=0.9554 +0.03061nx，并得到以下一些统计量的值：

（1）请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好;

（2）某位购房者拟于2018年6月份购买这个小区m（70≤m≤160）平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）.若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：

（i）估算该购房者应支付的购房金额.（购房金额=房款+税费;房屋均价精确到0.001万元/平方米）

（ii）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积.（精确到1平方米）

附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格进行征收.（计税价格=房款）

征收方式见下表：

2 试题评析

试题设问很像2015年新课标全国卷I的第19题，试题立足教材和大纲，不超纲，题材来源于生活，使学生体会统计与概率知识和现实生活息息相关，在工作和生活中有着广泛而又重要应用，形成自觉应用数学知识指导社会实践的意识，提高综合实践能力，这体现了课标中注重情感态度与价值观、过程与方法、实践与创新的课程理念，充分体现了全国卷I对高三学生在统计及函数应用方面的具体要求，试题入手容易但要解答完整却并不简单，知识的综合性强，阅读量大，也有一定的计算量，需要学生在短时间内提取有用信息来解决问题，整题对运算求解能力要求较高，需要学生掌握一定的运算技巧，计算“既快又准”，试题的区分度较好，充分考查了学生的数学建模及数据处理能力，

第（1）题以购房问题为背景，以散点图、相关指数R2为载体，考查回归分析等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识，考查统计与概率思想等，学生只要理解相关指数R²的意义：R2越接近于1，表示回歸的效果越好，便可通过简单估算解决问题，

第（2）（i）题以估算购房金额为载体，考查回归分析、函数等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想、函数与方程思想等，考查学生在复杂的问题情境中获取有用信息分析问题和解决问题的能力，通过散点图确定2018年6月对应的x =18，代入（1）中拟合效果更好的模型y=0.9554+0.0306·Inx，并利用参考数据In2≈0.69，In3≈1.10即可求出二手房均价的预测值为1.044万元/平方米，通过阅读税收征收方式对应的图表信息，选择有用的信息进行合理分类，建立分段函数模型，

第（2）（ii）题以估算可购房屋最大面积问题为载体，考查函数与不等式等基础知识，考查运算求解能力及应用意识，考查函数与方程思想等，首先通过估算得到，90平方米的购房金额小于100万，100平方米的房款大于100万，从而判断100万可购买的面积在90至100平方米之间，便可利用（2）（i）中相应的结论求解.

3 一点商榷

这道题第一步考查利用相关指数R2判断题目所给的两个模型中哪个模型的拟合效果更好，参考公式只给出了相关指数R2的计算公式，但湘教版选修2-3没有涉及相关指数R²2、残差，人教版选修2-3在85页有详细阐述相关指数R2，这样对于采用湘教版选修2-3教材的学生有失公平，他们或许没学过利用相关指数R2判断模型拟合效果好坏的依据，这样做这道题只能靠猜测了，可以在题目条件或者参考公式中补充：相关指数R²越接近于1，表示回归的效果越好，命题者在命题时要考虑教材的差异，确保公平，对于新的概念、新的符号一定要在题目中给予必要的交代.

4 对今后备考复习的启示

从2018年的《考试大纲》和《考试说明》及近几年的高考试题，结合各省质检卷的分析可以发现，全国卷在统计与概率这一部分命题基本稳定，2018年在考查内容、试题数量与分值、出现位置、难度系数、创新方向等方面依然会保持原有的风格，下面给出复习建议供读者参考.

4.1 关注阅读理解能力的培养

全国卷统计与概率的应用题往往与实际生活背景结合在一起，题目长达一页，需要学生快速提取有用信息，理解题意，建议边读边做些记号，转化为数学问题，要强化学生对概率统计基本概念的理解、基础知识的掌握和基本方法的应用，在概念教学中要准确掌握概念的内涵、外延，精选典型案例，通过引导辨析、巩固、应用等，使学生正确理解概念的本质属性，比如2017年全国卷的统计题就要求学生剔除（μ- 3σ，μ+3σ）之外的数据.

4.2 重视基础，回归教材

高三复习应改变以往片面追求“新、奇、怪”的极端做法，回归教材，狠抓基础，灵活运用知识处理分析问题，领会《考试大纲》的精髓和《考试说明》的要求，同时认真研究2013-2017的新课标全国卷I高考真题，平时在训练中要加大对频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等图表的训练，让学生掌握从图表中读取信息，如众数、中位数、平均数等，熟练掌握散点图、线性回归分析、独立性检验、正态分布等有关知识，掌握通过适当的变量代换，把非线性方程化为线性回归方程，从而确定未知参数的方法，同时个别非主干的冷门知识也不能忽视，如相关系数、相关指数、残差图、拟合效果等，

近几年的全国卷越来越重视实践性、应用性，要求学生应用数学原理和数学工具解决实际问题，因此在最后阶段要根据复习内容，适时设置合适的应用性问题，让学生在解决问题中逐步学会将实际问题数学化，训练数学建模能力，提高分析、解决实际问题的能力，关注利润问题、分段函数问题，加强应用题的答题规范训练，学会解决实际问题的基本步骤——将实际问题转化为数学问题，求解数学问题，并将数学问题的运算结果还原到实际问题，进而解释实际问题.

4.4 重视数学运算，提高运算能力

全国卷统计与概率题数据往往比较多，对运算技能的要求高，运算技能是基本的数学技能，是解题的基本功，运算的合理性、简捷性与准确性仍是后期复习的重点，把复杂问题简单化，减少运算的步骤，巧妙利用题目所给的参考数据提高解题速度，使学生解决问题更加简便、科学、合理，平时加强运算的限时训练，避免“一算就错”，重视答题规范，向非智力因素要分.

4.5 重视考试心态，增强应变能力

面对统计与概率题目叙述长、数据多的特点，许多学生可能遇到挫折，所以在平时的日常教学中要对学生的心理素质和应变能力加以指导，经受挫折和失败的考验，增强抵抗压力的能力，碰到难题，不能慌张，也可以通过这样想“题目越长越简单”“我难别人更难”来增强自信心，如果有些题目第一步暂时无法解出，可以把第一步的结论当作第二步的条件来用，灵活应变，在最后训练过程中，把每一次训练当成高考，而把高考当成平时的练习，争取高考超常发挥.