培养认知策略完善解题教学

郑为勤

1 原题及命题意图

在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点0'，对于两个不同的点M和N，若点M，N到点0'的距离相等，则称点M与点N互为基准变换点.

例如图1，点M表示数-2，点Ⅳ表示数4，它们与基准点0'的距离都是3个单位长度，点M与点Ⅳ互为基准变换点.

（1）已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准变换点.

①若a=3，则b= ▲ ，

②用含以的式子表示6，则b= ▲ ;

（2）对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以昙，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动3个单位长度得到点B.若点A与点B互为基准变换点，求点A表示的数;

（3）点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为8个单位长度，对Q点做如下操作：Q1为Q的基准变换点，将数轴沿原点对折后Q1的落点为Q2，Q为Q的基准变换点，将数轴沿原点对折后Q的落点为Q4，…，依此顺序不断地重复，得到Q5，Q6，…，Q，，若P与Q_4n两点间的距离是4，直接写出n的值，

根据联考统一命题要求：本次期末考重点考查北师大2012版七年级上册共6章，其内容是“丰富的图形世界”、“有理数及其运算”、“整式及其加减”、“基本平面图形”、“一元一次方程”、“数据的收集与整理”，特别要考查学生的数学思维能力和数学学习能力，命题预设，将最后一道题命题方向确定为以下两个方面：一是要将本册主要内容融为一体的综合度，以考查学生知识深度、广度和融会贯通的能力;二是要围绕数学核心知识，体现重要数学思想方法，以考查学生数学素养和运用数学的能力.

2 解题过程及评分標准

（1）①对于具体数值，点A表示的数是3，则这个点在基准点的右边，与基准点的距离是2，因此点B在基准点左边2个单位，表示的数是-1.

②通过绝对值的几何意义来表示点A与基准点的距离|l-a|，点B与基准点的距离为|l-b|.根据基准变换的定义得：点A和点B一定分别在点1的

3 解题感悟

本题要考查的知识点包括：数轴上的点表示的数;数轴上两点的距离;绝对值;平移、对折变换;找规律;一元一次方程，是一道综合性很强的题目，笔者在讲解时尝试结合认知策略教学，

认知策略是个体将其知识和技能用于问题情境的一些方法，这些问题有可能是个体早先未曾遇到过的，认知策略是“动脑”的方法，加涅通过研究前人的研究成果，总结出如下几种认知策略：注意中的认知策略、编码中的认知策略、提取策略、问题解决中的认知策略和思维认知策略，充分关注这些认知策略，能较完善地进行解题教学.

3.1 注意中的认知策略

完成阅读型考题，首先要过“阅读”关，即审题，如果不在“阅读”上要花时间，不仔细阅读，就无法后续的解题，细节决定成败，因此阅读时应不放过任何一个细节，研究表明，学习者通过应用认知策略可练习控制自己在文本阅读中的注意，注意的含义是选择性知觉，也就是说，要突出将要在短时记忆中存贮和加工的那些特征，教会学生用适当的符号标注重点，就能达到强调所呈现刺激的区别性特征，宋朝著名学者朱熹读书时就十分喜欢在书上作各种记号，初读、再读、三读都用不同颜色的笔圈点勾画，他认为这样能“渐渐向里寻到那精英处”，本题中有两个新概念，一是基准点，二是基准变换点，理解基准变换的关键在于“距离相等”，对题目的关键字词画圈、画线，真正领会题目给我们的解题暗示或提示.

3.2 提取策略

研究结果表明，许多学习者似乎都可以获得词汇表提取的归类策略，即便是非常年幼的儿童也可能会习得它作为一种策略，可促进记忆的各种方法被命名为“元记忆”，仅就元记忆而言，包括表格、思维导图等一些策略，做为一道以数轴背景的综合题，本道试题通过变式可以延伸拓展到求两点的距离、点的运动（相向或同向）等，本题应用到的相关数轴的知识可以进行如下整理：

3.3 问题解决中的认知策略

当学生解决新问题时，他们学习的不仅是可应用于那些问题的规则，而且是完成问题解决的一般方法，也就是说，他们学习了训练控制自身思维过程的方法，这些自我控制能力是思维认知策略，在进行问题解决中的认知策略研究时，怀特和维特罗克发现存在几种认知策略，这些策略在性质上具有一般性，大概可以应用于多种问题.

3.3.1 首先也是最重要的策略，是探寻深层含义的策略

本题中，类比互为相反数的知识，互为相反数的两个数表示在数轴上时，他们离开原点的距离相等，我们可以当作原点是他们的“基准点”，互为相反数的两个数是关于原点的“基准变换点”互为相反数相加得0，类似的，本题中的“基准变换点”相加得2.

3.3.2 在问题解决研究中表现出来的第二种一般策略是采用局部目标的策略.成功的问题解决者不是一步登天，而是使用逐步的“爬山式”方法

对于刚进入初中的七年级学生来说，他们习惯用具体数值进行运算，缺乏用字母表示数的一般思维，在这个时候，我们能做的是在顺应学生思维习惯的基础上，从具体到抽象缓慢过渡，让学生会从特殊到一般的推广.

对于第（3）小题，“若P与Q_4n两点间的距离是4，直接写出n的值”，说明“P与Q_4n两点间的距离”与“n的值”有关，而与点P，Q的起始位置无关，此时，学生如果采用特殊值法逐个计算，也可得n的值，如：假设点P表示的数为3，则点Q表示的数为11.与点P距离4个单位的点表示的数为7和-l，依题意顺序不断变换，得到Q4 =7，Ql2=-1.即n的值为1和3.在罗列Q1，Q2，Q3，Q4，Q5，Q6，…，Q_n的过程中，学生可直观发现当奇数变换时，点Q向左移动2个单位，求得P与Q_4n两点间的距离是4，需移动向左移动4个12个单位，完成这些后，再进一步用字母代替数，进行一般化思考，就能正确完整的解答了.

3.3.3 问题解决中另一个有用的策略是方法的灵活性.成功的问题解决者不会将自己限于一种思维方式中

3.3.4 第四种被识别出来的策略是部分综合策略，问题解决者须能将“部分综合成整体”

当点A表示的数是a，不少学生定势思维把点a默认在原点右侧，则点A与基准点的距离是以a-1.因此点B在基准点左侧a-l个单位，表示的数是l-（a-1）= 2-a，这样结果是正确的，但只考虑了点A的特殊情况（在基准点右侧）.如果用分类讨论的办法，加上考虑当点A在基准点左侧，点A与基准点的距离是l-a，因此点B在基准点右侧l-a个单位，表示的数是l+（l-a）= 2-a，这样思路就完整了，

当把以上部分综合成整体，通过绝对值的几何意义来表示点A， B与基准点的距离或者观察题图，根据题意，我们还可以知道，点0是线段MN的中点，也就是基准点是互为基准变换点组成线段的中点，由中点公式，得a+b/2也可能得结论.

掌握认知策略已成为衡量学生学会学习、学会思考的根本标志，解题教学的最终目的是“授人以渔”，我们常遇到的一类学生，上课听得懂，课后自己独立做题时，却找不到思路，这样的学生就是因为少了“策略性知识”，某些简单的策略可以很快学会，但有的策略需要反复练习、应用，只有坚持不懈，才有收到良好的效果，培养认知策略，必然在整个中学数学学习中提高学生的学习效果.