有效观察与联想是问题解决的基础保障

陈萍

数学学习的终极目标是利用数学的知识、思想与方法解决问题，正因如此，问题解决能力的高低在某种程度上可以被认为是数学学习质量高低的直接体现，换言之，问题解决能力的培养必须也应该为数学教学尤其是数学解题教学所直面，

相关教学的研究与实践表明，问题解决能力的提高有两个本源的外显特征——解题思路的快速获取和解题方案的规范呈现，比较而言，解题思路的快速获取更为重要，因为，它是解题方案的规范呈现的前提与基础.

然而目前的中学数学解题教学，解题思路的获取往往被异化为“套型得法”的“由此及彼”式的机械训练，解题思路的获取更多地被体现为“理所当然”，“从何而来”则很少甚至不被提及，可以想见，如此的解题教学，学生在面对陌生情境的问题时，因为应变能力的欠缺而无处下手应该不会是个别现象.

基于这样的理解，笔者依托自身的教学实践，对中学数学解题思路的“从何而来”展开了探索，认为，有效的观察与联系是中学数学解题思路“从何而来”的基本途径与方式，本文将例说笔者的思考所得.

1 有效的观察与联想源于对“求解目标”的感悟

上述解法有机融合了平面向量的四则运算、数量积、三角函数的性质以及基本不等式等相关知识，有效体现了数形结合思想、化归与转化思想的应用，与题目所处的压轴题位置相符合，但上述解法对学生逻辑思维能力的要求极高，教学时如果只关注到这一解法，则会在相当程度上削弱试题的教学价值.

事实上，在探寻解题思路时，倘若能够基于求解目标中的“最小值”，并注意到平面向量的坐标运算，进而联系处理“最小值”问题的一般性方法——建构目标函数，转化为函数的最值问题，则易得如下

上述解法有机融合了函数的单调性、奇偶性和含有绝对值符号不等式的知识，有效体现了化归与转化思想的应用，但由于知识的综合度较高，求解难度不低，教学时如果只涉及这一解法，则本题在“会一题、懂一类”的解题训练中的价值就被完全忽视了，

事实上，在探寻解题思路时，若能够注意到本题的情境为“选择题，且目标不等式f（x）>f（2x-l）对所选中的范围内的所有对象x都成立”，则可以结合选择题的特征（四个备选项中有且只有一个是符合题目要求的），以“对一般情形成立的结论对特殊情形也成立”的等价命题“对特殊情形不成立的结论对一般情形也不成立”为依据，通过特值排除的方式创造性的解决问题：

在上述的第二种求解思路中，考生将“特殊与一般思想”迁移到陌生情境中并用于解决问题的能力得到了充分的体现，且为类型题“选择题，且结论对某一范围内的所有对象x都成立”的解决提供了一般意义上的解题体验.

显然，上述解法对解题者灵活运用知识解决问题的能力有着较高的要求，也正因如此，本题被极为自然地贴上“难题”的标签，但事实上，如果解题者能够基于问题的结构而展开联想，则本题应该不属于通常意义上的难题.

作为结束，应该指出，在解題教学中，解题思路的快速获取固然重要，但解题方案的规范呈现同样重要，两者不可偏废，还应该指出，本文言及的解题思路的快速获取途径虽只是基于“常用”，但相关教学实践已经表明，这三种途径的意义与价值都是显见的.