例析处理超越方程的若干策略

王一棋

近几年高考中，函数与导数问题受到出题专家的青睐，每年的压轴题都是函数与导数问题，很多学生对于求导之后的求解方向不是很清晰，尤其是对于超越方程的处理感到棘手，在2017年新考纲出台的背景下，对于超越方程的考察又是怎样的方式？本文从4个方面给出关于超越方程的一些教学建议.

1 新高考大纲对于数学教学的新要求

考试大纲是高考命题的规范性文件和标准，是考试评价、复习备考的依据，是推进考试内容改革的切入点.2016年底国家教育部考试中心下发了《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》，发布了考试大纲中部分修订的内容，教育部考试中心此次修订《考纲》是基于国家目前改革的进程和需要，基于高考的基本立场，关于数学学科，此次修订明确提出了从3个方面考查学生的数学学习情况，即数学思想方法、数学能力、数学的科学与人文价值.

2 新高考大纲要求下的超越方程呈现方式

超越方程（transcendental equation）是指包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变量的多项式或开有理数次方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程，大部分的超越方程求解，没有一般的公式也很难求得解析解，常见的超越方程如指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等.

2017年的高考已经落下帷幕，现在我们可以站在过来人的角度去审视新大纲的要求和2017年的高考，其中全国卷I卷、II卷、III卷的压轴题，展现了关于超越方程在中学阶段的处理原则，其实不仅仅是2017年的考试，在历年的高考中，关于超越方程的处理一直都是学生感到棘手的问题，如果能对超越方程的处理方法做一些了解的话，那么对于解决压轴题可以说是大有裨益的，笔者将2010～2017近8年的全国及各地高考试题，逐一统计，发现解决的方法是有一些规律可循的.

3 超越方程的教学建议

3.1 可以直接求解的超越方程

在教学中笔者发现很多学生并不清楚为什么求导，遇到超越函数只是盲目求导，求导之后不知道要做什么，首先我们要明白，求导之后我们到底为了得到什么？其实求导的目的无非是两个，一是得到导函数的零点，二是得到导函数的正负，导函数的零点往往是原函数的极值点，与单调性结合，得到原函数的最值，从而达到破题的目的，下面我们以2017年高考全国I卷第21题的第一问为例说明.

这里我们仅就第一问进行分析，本题的情况是我们在解题中最愿意见到的一种情况，就是在求导之后，令导函数等于零，得到类似于二次方程的指数方程，这样我们就可以直接求解方程，得到极值点以及函数的单调性，从而比较顺利的解决问题，类似的题目还有2013年的全国I卷压轴题.

这一问表面看是含参数超越不等式恒成立的问题，其实不然，常见的参变量分离或者构造函数的手法是无法解决的，本题破题关键节点在于得到超越方程x-1- alnx=0的解是x=l，而x-l-alnx=0是无法求解的，那么我们怎么得到这个方程的根呢？方法就是通过观察函数的特征进行猜想，通过观察的方法得到超越方程的解，然后通过二次求导，判断导函数的单调性，进而得到原函数的极值点，猜根的方法在很多题目中都有体现，比如我们看2010年全国I卷的压轴题，也是这样的方法，

这里需要说明的是最值需要利用洛必达法则求出，类似的问题还有2011年全国卷的压轴题，2013年北京卷的压轴题等等，有时候我们遇到的超越方程是猜不出方程的根的，那么我们给出以下建议.

3.2.2 假设借代

下面我们看一下2017年的全国II卷的压轴题，此题非常好地诠释了不可求解的超越方程的第二种处理方法，

可以通过观察猜出一个极值点是1，有y= 2x-2和y=1nx圖象可以知道应该有2个极值点，有一个极小值点1，而另一个题目问的极值点无法求出，也无法猜出，那么怎么办呢？此时我们采用假设借代的方式予以解决.

4 结语

超越方程是数学中一个重要的研究方向，学习好超越方程对于学生的领悟数学思想，提高数学能力是大有好处的，这也符合新的高考大纲的要求，超越方程没有一般的求根公式，总是因其特殊性而采用各种特殊而有效的方法解决问题，本文从4个角度对于高中常见的超越方程进行解析，并给出一些建议，希望对于学生学习超越方程能有所帮，当然知易行难，上述内容还需要学生加强理解与训练才能灵活运用.

参考文献

[1]朱传美，增元——超越方程（组）中的“消元法”[J].中学数学教学，2017（05）：42-44

[2]高雄英.导函数隐零点问题的处理策略[J].高中数学教与学，2017 （09）：15-17

[3]吴晓英.例谈突破导数零点问题的几种策略[J].中学数学，2017 （01）：55-57

[4]石向阳.导数问题中虚设零点的三个技巧[J].数学通讯，2017 （01）：1-4

[5]黄立羽.一道超越方程的趣解[J].数学学习与研究.2016 （08）：126