小学数学课外拓展题设计“四要”

王宜琴

【摘要】学生的学习应当是连续的，从课内可以到课外，从学校可以到家庭。课外拓展题应当是课堂学习内容的适当提升，是学生经过努力能够解决的问题。拓展题的设计应当不局限于了解学生已经学会了什么，还要测评学生在多大程度上能将自己掌握的数学知识和技能迁移到新环境中去。设计时，目标要明确，主题要丰厚，内容要实在，形式要多样。

【关键词】课外拓展 数学理解 解决问题

学生的学习是连续的，从课内到课外，从学校到家庭。苏霍姆林斯基也曾说过这样一段话：“不要把课外作业当成课内作业的量的追加。课外作业应当是知识的发展与深化，是学习能力的改善，是掌握课堂知识的准备，应当让学生在课外发展个人的爱好和需要，满足和发展个人的多方面的智力需求。”当前的小学数学教学，课内学习侧重于规范性系统知识的学习，帮助学生构建知识体系；而课外拓展则着眼于拓展，学习的范围可以拓广一些，学习要求也可以提高一些。高质量的课外拓展题，必须能反映出学生对知识的弹性迁移、灵活的思考和应用所学知识的能力，它直接影响着教师的教学效果和学生的学习效果。怎样有效地设计小学数学课外拓展题呢？这是一个值得研究的话题。

一、目标要明确——为了理解而去设计

数学理解包含两层意思。一是“对数学对象的理解”。学生理解数学的知识内容、方法技巧、思想策略等；二是“从数学的角度去理解现实”。理解是多维的和复杂的，有不同的类型和不同的方法。数学理解的测评，不仅要了解学生是否能通过背景知识回答问题，还要测评学生在多大程度上能将自己掌握的数学知识和技能迁移到新环境中去。可以从以下几点进行判断：（1）是否有利于对所学知识的完善与优化；（2）是否有利于学习能力的提高；（3）是否有利于形成对数学新的看法、积极的感受；等等。因此，在设计课外拓展题时，首先要思考这两个问题：（1）设计的目标是什么；（2）这个目标要带我们去哪里。

例如，在四年级下册学习完第七单元《三角形、平行四边形和梯形》后，单元复习时，给学生们设计了这样一道拓展题：从数学的角度考虑，下面哪一个图形与其他两个不同？请找出这个图形，并说一说你的理由（写出一种即可）。

（1）这个与众不同的图形名称是 。

（2）你下结论的理由是什么？（在答题卡对应的位置上写出你的思考过程）

概念的发展，需要学生将数学语言转化成相对应的生活语言，将符合还原为具象、形象的背景，然后通过实物、图形、操作过渡到符号、语言表征。在四年级下册学习完《三角形、平行四边形和梯形》单元后，就知识基础而言，学生已经掌握了这几个图形的基本特征，并且也有了一定的知识经验和基础。本题答案不唯一，这几个图形都可以作为标准答案之一。从边的数量或从边的相互位置关系去看，答案就是三角形；从图形的自身结构来看，这里只有梯形是轴对称图形，所以答案可以是梯形；从面积大小看，学生在三年级下学期已经有了数方格可以确定平面图形的面积的数学经验，答案又可以是平行四邊形。设计这道拓展题时，每一步都有其设计目的，比如：选择怎样的三角形、怎样的平行四边形和梯形，是否要把这些图形放置在方格纸上等，都是经过慎重思考后修改的，最终才确定以这样的方式和表述形式呈现。这样的设计，其目标除了考查学生是否熟练掌握这几个平面图形的基本特征外，还要检测学生是否有能力从多个维度去思考、去分析、去解决问题、去进行语言表述。正如史宁中教授所说的那样，是否能用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言去表达世界。

二、主题要丰厚——提升数学文化素养

数学是人类文化的重要组成部分，数学教学传承着人类文明。教材中的知识往往遵循自身的逻辑体系，科学又严谨。但不难发现，有些数学知识恰恰和数学史上的一些趣味名题有着或多或少的联系，这样联系有时在课内教学并不方便开展，因此可以设计成延伸性问题。试想一下，在课外拓展题的设计中，如果能够在超越教材之外，将数学史料巧妙地带给学生，提升学生的数学文化素养，这是一件多么有意义的事。

例如，在学习完五年级下册第三单元《因数与倍数》后，笔者设计了这样一道课外拓展题：

阅读下面材料：

其中1、2、3是6的因数，并且还是自然数6除了它本身以外的所有因数。你知道吗？在数学上，像6这样的自然数——除了它本身以外的所有因数的和等于它本身，我们把这一类数称为“完全数”。问题：除了自然数6是完全数以外，你还能再找出一个完全数吗？

这是一个蕴含着深刻数学教育理念并极具创新的课外拓展题，它是数学史上最美妙的一类数——完全数。所谓完全数，是指一个数除了它本身以外的所有因数的和等于它本身。学生通过材料阅读，结合《因数与倍数》这个单元所学的知识经验，尝试着去寻找另一个完全数，对于五年级学生而言，的确是可行的可操作。当然学生练习前，教师可以做一些铺垫：先排除质数。因为质数的因数除了1就是它本身，按照规则，不能构成加法运算，所以一定不符合。再引导学生从最小的合数4开始有序思考，一一列举，逐一排除。4、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、22、24、25、26、27、28……找出第2个自然数28，28=1+2+4+7+14。这样一个探究过程，既巩固了找一个自然数的因数的方法，又培养了学生的抽象思维、逆向思维和探究意识。教师甚至还可以给学生补充：“在数学史上，6是一个完全数，也是最小的完全数，28是第二个被发现的完全数。目前人类利用计算机等工具高速运算，也才发现了38个完全数。在探索完全数的历程中，留下了很多大数学家的足迹，如欧拉、毕达哥拉斯等，你们啊和大数学家一样厉害。”通过这样的课外拓展，让学生把数学的史料进行了恰当的转化和有效的对话，给学生提供了体验数学发现的历程，彰显了数学史料的文化价值和教育价值。

再如，教学《比的意义》之后，可以让学生收集有关“黄金比”的实例及其在生活中的应用实例，拓展学生的认知视野。教学苏教版数学六年级下册《解决问题的策略——假设》后，可以让学生通过网络等途径查阅我国古代算术名著《孙子算经》，阅读关于“鸡兔同笼”问题的相关资料。苏教版教材中也常常出现“你知道吗？”这样的栏目，其中很多就是古今中外的数学史料，为学生的课外拓展学习提供了很好的素材。翻开历史的长卷，像这样的数学史料举不胜举，它们是人类文明史上的宝贵财富，理应成为我们的教学资源，雕刻于学生的记忆深处，成为他们数学文化素养中不可或缺的一部分。因此，在设计课外拓展题时，要合理地开发和使用课程资源，提升学生的数学文化素养，使得数学学习变得丰厚起来。

三、内容要实在——完善知识的整体结構

数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现课程目标、实现数学教学的重要资源。正是由于教材有一定的知识体系，因而客观上也规定了学生的主要学习内容。不难发现，在实际教学中，对于某些教学内容，我们常常会感觉学生的知识经验和基础差了那么一点，一些有经验的教师，会在不违背数学知识逻辑关系的基础上，根据学生的数学学习认知规律、知识背景和活动经验，适当整合补充一些教学内容。实际上，学生有时完全可以超越教材，并且有能力去比较全面地了解或者学习某些相关内容，从而初步建立有关知识的整体结构。

比如，教学苏教版数学五年级下册第一单元《方程》时，教材中只安排教学未知数是一个加数或因数、被减数或被除数的方程，对于未知数是一个减数或者除数的方程并未呈现。新课程标准从学生的长远发展和中小学教学的衔接出发，要求小学阶段的学生也会利用等式的性质来解方程。因此，本单元安排了等式的性质的内容，并且分两段教学，每一段教学等式的性质后，都及时让学生运用等式的性质解方程。对此，笔者认为苏教版教材这样安排非常合理，符合数学的学科特征和学生的认知规律。教材回避了未知数是一个减数或者除数的方程计算，但是在利用方程来解决实际问题，特别是用到稍复杂的方程来解决实际问题时，学生完全有可能列出未知量在减数或者除数位置的方程，此刻怎么办？为此，学习完简单的一步计算的方程后，设计了这样的课外拓展题：

（1）填空：20-（ ）=5，35÷（ ）=7。

（2）运用已有的知识解方程：20-x=5，35÷x=7。

结合四则运算各部分之间的关系：减数=被减数-差；除数=被除数÷商，凭借数感，学生很容易解决出第一个问题。解决第二个问题时，学生结合上一题的解题经验，也能解出这种类型的一步计算方程。此刻很多教师，就会对学生说：“以后遇到这样的方程，就用这样的关系去解啊！”诚然，利用四则运算各部分之间的关系可以解决上述这一类方程，等式的性质在这里真的毫无用武之地吗？不，知识不是孤立的，它是有联系的。“数学理解的发展意味着，学生头脑中建构更加丰富、更加具有整合性的知识结构，这种整合的知识结构使得学生的数学理解更富有生成性。”联系是数学理解的本质。仔细分析教材上所呈现的方程式，其实它们都可以“看成”最基本的结构关系——“加法”关系和“乘法”关系。“减法”关系和“除法”关系是它们的逆运算，是可以实现转化的。以这里的方程“20-x=5，35÷x=7”为例，利用知识的迁移，可以带领学生完善等式的性质，明确：“等式的两边加上或减去同一个数，这里的同一个数可以是未知数x；等式的两边乘以或除以同一个数（0除外），这里的同一个数也可以是未知数x。”这样方程“20-x=5，35÷x=7”就转化成“20=5+x，35=7x”，这就是学生最熟悉的“加法”和“乘法”关系结构的方程。设计这样的拓展训练，既完善了学生的认知水平，也弥补了相关知识的缺陷，等学生到了中学阶段，学习“合并同类项”和“移项”时，可以实现自然过渡，使得中小学阶段关于方程的教学浑然一体，形成了完整的知识结构。

四、形式要灵活——培养综合应用能力

数学源于生活。要认真挖掘学生所学的数学知识在社会生活、生产以及相关学科中的应用，精心设计问题情境，创造条件让学生运用所学知识解决相关实际问题，让学生体验数学的应用价值。而培养小学生数学应用意识最有效的办法就是让学生有机会亲身实践。因此，课外拓展题的设计，要突出综合性、应用型，形式更要灵活，以促进学生实践能力的培养，提升学生的数学综合应用能力。

例如：在五年级上册《解决问题的策略——一一列举》单元复习时，笔者设计了这样一个拓展题：李伯伯有20米长的竹篱笆，请你帮他围一个长方形的花圃（花圃的长和宽都是整米数）。李伯伯有个要求：他想让花圃的一端靠着墙围。你打算怎么设计？猜一猜：李伯伯会选择哪一种方案，为什么？

本题是一道典型的开放题，和教材上的例题、习题最大的不同，就是多出“一端靠墙围”这一条件。从课内到课外，既要求学生掌握常规的思维过程，又要打破学生的定式思维。“要靠墙围，怎么靠？哪条边去靠？”学生要在头脑中对已有知识进行“再加工”，并加以调整、改组和充实，创造性地寻找独特的解法。学生可以借助生活中的材料，比如课本、文具盒充当那面墙，用小棒搭一搭；也可以数形结合，画示意图分析题意，再运用一一列举的策略解决该题。本题的设计方案一共有9种，其中长10米、宽5米时，面积最大。有心的教师还会带着学生发现规律：不靠墙围时，长和宽越接近，围成的面积越大；靠墙围时，当宽恰好是长的一半时，围成的长方形面积最大。这样的一个探究过程，是一个发展思维的过程，有利于学生开拓思维，凸显过程和方法，体现数学理解。

课外拓展题的形式可以多种多样，除了上述对学生思维要求比较高的综合性拓展题，还可以抓住儿童爱玩的心理，布置一些从学校到家庭的实践性拓展题。如教学“认识钟表”时，可以让学生回家和父母一起制作一个钟面；教学“升和毫升”时，提前让学生去超市里调查哪些商品用升或毫升做单位；教学“四则混合运算”之后，让学生回家后借助扑克牌和父母玩玩算24点游戏；等等。

总之，有价值的课外拓展题是对课堂学习的有效补充，期望以这样的课外拓展题更好地诊断学生数学理解的落实情况，从而改进我们的日常教学，更好地提升教学质量，促进学生核心素养的发展。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]周卫东.立德树人，数学何为[J].小学数学教与学，2016（9）.

[3]王陈华，黄韬.小学数学实践性作业的实践探究[J].小学数学教与学，2016（9）.