素养的形成依赖于知识的深度理解

安徽省金寨第一中学 六安市徐道奎名师工作室 (邮编：237331)

通过数学教学发展学生的数学核心素养是数学教育的基本理念，是落实立德树人的基本要求.素养是人的基本内涵，素养的形成在于对知识的深度理解，深度理解知识建立在对知识的本质认识之上.毋庸置疑，对数学本质的认识、对数学的真正理解是高水平教学的前提.但长期以来，囿于高考压力，功利主义的教学使人们易于忽视对数学本质的研究，放弃教学中能够有利于发展学生能力素养的机会，基本不等式的教学表现就是其中例证.

关于基本不等式的教学，人们往往更多关注于各种应用和求解技巧，强化不同题型的训练，而在概念形成，引导学生从不同视角领悟基本不等式的意义，阐述和证明基本不等式，深化学生对基本不等式本质和应用原理的认识等方面没有引起足够的重视.

基本不等式的教学重心应在何处？学生学习基本不等式的障碍在什么地方？怎样通过基本不等式的教学培养学生的核心素养？笔者结合教学实践谈谈体会.

1 如何理解基本不等式

基本不等式是一个联系的整体，是函数、方程、不等式知识的贯通融合，其“基本性”表现在应用的基础性(可以作为所有均值关系及变式的基础)、背景的广泛性、变式的多样性和延伸拓展的多维性，教材中将其定义为“基本”的不等式是有其深刻的道理的.基本不等式的证明体现了数学知识的内在联系和统一.在应用层面，求解最值是其最高境界，是基本不等式本质、核心的充分彰显，应用基本不等式求解最值依赖于对定理本质内涵的深刻理解，涉及面广，是一个综合的系统工程，在求解最值的过程中，需要对所求问题进行分析判断，类比迁移，探索尝试、推理论证，需要选择不等式性质定理的运用模型，变式运算，最终还需对所求结果进行评价检验等等，是学生数学素养的综合体现，对学生的能力要求高，因此，基本不等式求解最值的教学是发展和培养学生核心素养的极好资源和重要载体，无疑是教学的重点和难点.调查发现，学生运用基本不等式求解最值普遍感到困惑的主要原因是：(1)不能准确理解基本不等式及其本质内涵；(2)没有真正理解基本不等式求解最值的基本原理；(3)对怎样用基本不等式求解最值，用基本不等式求解最值的切入点和思维策略缺乏清晰的认识，解决问题止于机械模仿和形式套用.下面对上述三个问题进行简要分析.

基本不等式能够从几何、向量、代数、函数、三角、统计、复数等不同角度得到解释.教学时，得出

第一，基本不等式反映了变量的大小关系.其包含大于、等于两种情况，

学生适应了函数中自变量取某个值时，函数值最大或最小，对基本不等式的一边为定值，两个变量“相等”时才发生最值，在“不等”中寻求“相等”并求解最值的方法不习惯.

第三，基本不等式隐含各种不等关系——性质定理，是一个“定理体系”.基本不等式有很多变式的形式，如前所述，它是所有“均值”关系的基本性特征的体现.如可以变式为：

等多种形式，两个正数a，b的积、和、倒数和、平方和中的任意两个均有一定的不等量关系，解决问题时，应用变式形式的居多，由于学生没有理解含有等号的不等式求解最值的原理，运用定理及其变式求解最值的意识不强.

第五，不同的应用需要进行不同“结构变换”.若将基本不等式及其变式应用于不等式证明(放缩)，只要满足不等式成立的符号条件即可，不受“一正二定三等”的限制.若用基本不等式及其变式求解最值，除了对符号有严格要求外，还必须满足应用基本不等式最终的结果为定值，不等式中的等号必须能取到.

如果学生对基本不等式的掌握只局限于公式、定理的本身，处于静止、孤立的状态，不了解知识的本质和内在联系，不仅不利于数学知识体系的形成，而且影响对知识理解的深度，更不可能形成能力素养.

2 性质不等式求解最值的基本原理

基本不等式中的“相等”是变量变化的结果，等号取得到，最值才会发生.对基本不等式的运用条件特点理解透彻，分析问题就会思路清晰，变式转换就会方向明确，解决问题才能得心应手.

3 基本不等式求解最值教学的具体做法

3.1 解剖原理，领悟本质

基于以上分析，基本不等式的教学要在理清知识之间的内在联系，形成完整的结构体系，理解其本质内涵上做足功夫，要在引导学生领深悟透原理和方法上的基础上进行运用，既要注重思维和活动经验的积累，又要回归本质，寻找问题解决的策略之源.教学重心不能偏移对基本不等式本质的把握，灵活应用基本不等式要从深度理解开始，尤其要让学生弄清其求解最值的“机理”.教学时不要在基本不等式的定理刚刚形成时即急于运用，而应与学生一起对定理进行深入探讨，进行深度解读，通过创设问题情境，设置“问题串”，在师生互动中，引领学生步步深入，深刻理解原理，领悟本质内涵.以下是为引导学生深度理解基本不等式而设置的问题串.

(2)若正数a、b的和为定值S，其积是一定的吗？积的大小变化有什么规律？有最值吗？最值在什么时候取得？

(3)若正数a、b的积为定值P，其和是一定的吗？和的大小变化有什么规律？有最值吗？最值在什么时候取得？

(5)基本不等式对你解决求解最值问题有什么启发？如果让你求a+b的最小值，你会怎么做？求ab的最大值呢？

(6)举例说明基本不等式及其变式的成立的符号条件和求解最值的符号条件的区别，求解最值除了基本的符号条件之外，还需要什么条件？

在问题的一个个解决过程中，深化学生对定理的印象，使学生对定理的理解达到一定的深度，发展和培养学生的能力素养.

3.2 问题解决，回归本质

问题解决是数学本质、数学原理和数学思想方法的运用，归根到底是数学本质的反映，离开数学本质的解题，是纯粹的技巧游戏，没有教育的价值.运用基本不等式求解最值时，必须在熟悉定理的各种形式以及求解最值所必须的条件基础上，围绕运用定理之后的最终结果是否为定值，并且能否取到不等式中的等号展开分析，研究特点，观察结构，变换形式，构造定值，检验结果. 所有运用，都要回归基本不等式的本质，体现基本不等式的本质.

分析用基本不等式求解最值，一般需要变式，变式的目的就是创造要满足求最值的三个条件.

(3)直接把两个因式分别用基本不等式或展开后两次用基本不等式，等号均不能同时取到，可将式子展开.

如果配凑后用基本不等式不能满足结果为定值或不能取到等号，必须改变变式的方式，或采用基本不等式和构造函数相结合的处理方法.运用基本不等式求解最值的关键是变式，每一次变式后，要引导学生分析，我为什么要这样变？怎么想起来要这样变？变式是观察分析、直观想象、迁移联想和代数式运算能力素养的综合体现.要培养上述能力素养，需要学生亲历问题解决过程，积累思维和活动经验.

分析对于多元的式子，“减元”是其变式的方向，根据题目中条件和结论的特点，考虑把结论中的y用条件进行代换.

例3 (1)已知x>0，y>0，x+3y+xy=9，则x+3y最小值是______.

(2)已知x>0，y>0，x+3y=5xy，则3x+4y最小值是______.

分析本题条件中给出的关系都不能直接套用基本不等式及其变式，需要进行变式.

(1)由题设，联想x+3y与x·3y的不等量关系进行变式.

由于

所以x+3y+xy=9变为：

上述分析表明，用基本不等式求解最值时，在满足基本条件即a,b为正数的基础上，要围绕“构造定值，保证相等”进行，配凑、拆分、分解、代换、整合、捆绑等，“构造定值”与“保证相等”应综合考虑，对式子的重新构造要依据条件和结论中所给式子的特点，选择定理模型也要结合所给式子的特点.

分析(1)将a4+4b4用基本不等式，a4+4b4≥4a2b2，再将所得的分式分离，再用基本不等式即可.

例5 (2011年清华大学自主招生)已知a，b为非负数，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值.

再求最大值，可以总结分析得出.由题设，0≤a≤1，0≤b≤1，因此，a4≤a，b4≤b，所以a4+b4≤a+b=1，当a，b之一为零时取等号.

评析选用基本不等式的变式定理要灵活.应用基本不等式也不一定从一而终，基本不等式解决问题一定要注意综合运用，与函数、线性规划、三角等知识有机结合，如例题1(3)、(4)及例5在求最值时即是基本不等式与其它知识一起求解.在高考中，对基本不等式的考查不一定单独成题，而是把其渗透于综合的问题里，下面所选的例题就是在解题过程中发现其能够用基本不等式求解.

例6 在综合问题中运用基本不等式(笔者根据2015年四川省高考题改编为解答题).

综上，mn的最大值为18.

4 结束语

“高水平的教学要能挖掘数学概念、结论背后的本质、内涵[1]”，没有对知识的实质的掌握，就不能灵活运用，更谈不上能力素养.学生素养的形成依赖于对知识的深度理解，依赖于对知识本质的认识，因此，教师必须深入研究知识形成过程，应用范围和数学意义，引导学生经历知识形成过程，把握知识本质，及时发现学生理解和运用知识存在的问题和困惑，采取相应的对策，教学不能搞花架子，教学过程不能简化，要有耐心，教授知识不可蜻蜓点水，切忌浅尝辄止.