深耕细作 再研“幂函数”教学

安徽省芜湖市沈巷中学 (邮编：241012)

1 问题背景

“深度思考”是一个思考的过程，并不是一次性的思考，而是一种持续状态下的思考，在这样的“思维发酵”中，思考的结果不断地逼近直至触及问题的本质.阅历、阅读和交流是深度思考的催化剂.深度思考要求我们要：明晰概念，关注细节，系统思维.

“幂函数”是高中数学函数模块的重要内容，是中学数学基本初等函数之一.幂函数原先不被人们所重视，是常说的“简单课”“鸡肋课”，教学内容只是教材上的一张纸，习题、复习题中寥寥3道题，学生也常常忽视它的存在.但是，随着课程改革的深入，数学核心素养课程目标的提出，再加上高考题的出现、指挥棒作用的凸显，幂函数的教学逐渐被教师和学生所重视.中文核心期刊《中学数学教学参考》在2018年第6期(上旬)的“谈学论教”栏目中，刊用3篇文章论述幂函数的教学与思考，实属打破常规，创新出彩.说明，一是幂函数的教学，有利于展现教者的教学智慧和水准，二是对幂函数图象与性质的探究，可以让学生进一步体会建立和研究一个函数的基本过程和方法，也有利于培养学生敏锐地发现问题、科学地探究问题和批判性解决问题的数学素养.

基于“深度思考”的教育价值，站在3篇样本文章的基础上，笔者深耕细作，对“幂函数”的教学及其设计，提出自己的新思考.

2 样本文章概要与研判诊断

文[1]《教之道在于度——“幂函数”的教学研讨与反思》秉持“元认知”启发引导探究活动，从学习什么、寻找方法、探索性质、突出本质、回顾反思诸环节分析两位教师的课堂教学片断，对教学设计和实施进行反思.

研判诊断该案例中，两位授课教师以学生为主体展开教学过程，探究幂函数的概念、图象和性质，但是，教学活动都是教师抛出问题、学生解决问题.教师牵着学生“鼻子”走，其本质还是告知，不是真正意义上的启发探究行为.

文[2]《基于数学基本活动经验提升数学核心素养》以数学核心素养为要求，基于数学基本活动经验，自我剖析一次公开课的教学实践并加以说明，多媒体(几何画板)辅助教学，感性与理性深度融合.

文[3]《从一节公开课谈起——关于人教A版“幂函数”若干教学环节的思考》“类比”研究指数函数和对数函数的思想方法，研究幂函数的性质.从教学建议、例题处理两方面，以数学核心素养的养育为教学行为准则，评价他人的一节公开课.

研判诊断作者的教学建议中有两个智慧点，一是关于幂函数概念的引入，遵从教科书的处理方式.因为教科书是课程的核心教学材料；二是引导学生先探究幂函数的性质，再根据性质画图象，最后用信息技术演示验证.教学设计有创新，也符合学生认知的实际.

3 系统思维，整体认识幂函数

中学数学课标教材依据“循序渐进，螺旋上升”的认知原则，分三个阶段编排函数课程.义务教育阶段的反比例函数、一次函数和二次函数，这是中学数学常用的最简单的初等函数；高中必修教材中的指数函数、对数函数和幂函数，是基本初等函数(Ⅰ)，正弦函数、余弦函数和正切函数则是基本初等函数(Ⅱ).其他形式的更为复杂的函数都是它们通过四则运算和复合而得到.因而，中学函数模块的学习，关键是对这些初等函数的理解、掌握与应用.高中选修教材中的函数与导数，是函数学习的第三个阶段，也是中学学习函数的提高与验收阶段，是用导数的方法解决函数学习中的一些疑难问题，同时，让学生体会到用现代数学方法解决函数问题的简洁精妙与强大功能，认识到数学技术的应用也是生产力，进而产生进一步学习高等数学的强烈愿望；认识到数学与其他学科特别是与物理学科的紧密联系，学会用数学的方法解决物理学科中的有关问题.

依据《普通高中数学课程标准(2017版)》，即将使用的人教A版高中数学教科书，对函数必修内容作了较大的调整，进一步优化数学课程结构.将 函数的概念及其表示、函数的基本性质、幂函数、函数的应用(一)，整合成一章，把指数与指数函数、对数与对数函数、函数应用(二)，整合成另一章.把幂函数提到指数函数与对数函数之前，这样处理幂函数的编排结构，用学生较容易理解和掌握的幂函数，在“函数的基本性质”和“指数函数、对数函数”之间架起了一座联系紧密和有效学习的桥梁，匠心独运，意味深长.

一是知识体系上的衔接.义务教育阶段，学生学习了幂的意义以及幂的运算，学习了反比例函数、一次函数和二次函数.事实上，y=x-1、y=x、y=x2都是幂函数，学生对它们的图象和基本性质应该是掌握的.高中数学在学习了函数的概念、函数的基本性质之后，紧接着学习幂函数，从知识体系上讲是自然衔接，从学生的认知结构上讲则是抓住了学习的“最近发展区”顺势而为，学生可以很容易地应用函数的基本性质来分析幂函数，从而能有效地分散和化解函数学习的难点，初步形成利用图象研究函数及其性质的基本过程和方法，为进一步学习指数函数、对数函数和三角函数作了知识上和心理上的准备.

二是实践反思后的成果.依据2003版课程标准编写的高中数学教科书(以下简称实验版教科书)已有十几年的历史.教学实践中，学生和教师都有一种感受：函数起始部分难学难教，知识的难点过于集中.“函数的基本性质”就压得大部分学生喘不过气来，接着就编排指数函数和对数函数，学生又是雪上加霜.实际上，对大部分学生来说，突破指数运算和对数运算就是一个巨大的挑战，更不要说是在此基础上的函数学习了.教学的根本任务是有效地促进和改进学生的学习，基于此，为了分散函数学习的难点，把相对来说学生较为熟悉的幂函数调整到指数函数、对数函数之前，就显得尤为必要，这应该是教材编写专家在广泛的调查研究基础上，听取一线教师和学生的教学意见后，优化教材编写结构的结果，也是实验版教科书在实践反思后的成果.

4 幂函数教学深度思考

“把握数学本质，启发思考，改进教学.”是《普通高中数学课程标准(2017版)》四大基本理念之一.新课标要求普通高中数学课程要以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，为学生的可持续发展和终身学习创造条件.数学教学不仅要关注如何帮助学生学会知识、技能、思想、方法，更应当关注如何引导学生会学习、会思考、会应用，不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.数学教学还要整体把握教学内容，促进数学学科素养连续性和阶段性发展.

4.1 明析概念，关注细节

再者，指数α是常数，那么α∈R还是α∈Q？笔者认为，中学阶段研究函数都是在实数集范围内进行的，因而α∈R.但是，如果指数α为无理数，那么研究相应的幂函数，就要涉及到它在实数集R上的一致连续性，这显然超出中学数学课程的范围.所以，幂函数的指数α∈Q合乎情理，符合中学数学教学的实际.

4.2 多维思考，深度揣摩

4.3 把握本质，改进函数教学

函数教学的课程目标是：在函数教学中，要处理好解析式、图象和性质之间的知识体系和认知结构关系，通过科学地处理这些关系，让学生逐步掌握研究函数问题的基本过程和方法；会运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴含的规律，逐步形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识.

由函数解析式到图象直至函数性质，这种一般且常规的教学路径，形成了解决问题的思维定势，长此以往，不利于学生系统性结构化地掌握函数知识、灵活解决问题.

从函数的知识体系来看，课标教材呈现出由“低级感知”到“高级认知”的过程，由函数解析式描绘图象，再由图象形数结合，得到函数性质.在实验版教科书中，基本初等函数的教学直到正弦、余弦函数，都是依循此结构呈现知识体系和思想方法的.正切函数的教学程序发生了变化，由“图象与性质”变成“性质与图象”，图形是最好的语言，根据性质来研究函数图象应当是函数学习的更高级阶段.

基于以上的思考，函数教学要灵活处理解析式、图象与性质之间的知识结构关系和认知逻辑关系，根据学生学习的实际，开展各类基本初等函数的教学.在拧紧由解析式到图象，再到性质的基本认知链的同时，搭建由解析式到性质、由性质到图象的高级认知链，在解析式、图象与性质之间构建起动态的、良性的知识体系和认知结构，有效地促进学生对函数模块的学习和掌握，为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养创设契机、搭建舞台、推波助澜.

5 结束语

“理解数学、理解教学、理解学生”，这是数学课堂教学的立身之本；教好数学，这是落实数学学科核心素养的根本保证.反思我们的数学教学实践，缺少的是“系统思维”意识，迷失的是“深度思考”态度.我们习惯的或曰引以为豪的教学范式，多是遵循自己熟悉的路径不断重复，是不会有任何提升的，只能将知识和技能变得熟练而已.数学真正的功用，是其背后的数学思维；数学教学的真正提升，应该是教学设计时对知识结构和本质的深度思考，交互活动中有效促进学生的深度学习，应该在于数学课堂上的两个主要角色教师与学生思维和视野的突破.愿我们的数学课堂教学能化茧成蝶，睿智聪颖，从有效教学走向优质教学.