浅谈高中数学中的数形结合思想

李勇

摘要：数形结合思想是高中数学思想中非常重要的数学方法和数学原则，也是全面提高学生素质的重要方法之一，掌握好数形结合的思想是学习高中数学的关键，在数学教学中有至关重要作用和地位。

关键词：高中数学 数形结合 应用

数形结合的思想是解决高考数学试题的基本方法之一，它是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，可以实现化繁为简、化难为易、化抽象为具体，从而达到简洁明了的解题效果。尤其在高中数学中的集合、函数、方程、几何、复数等问题中有着非常重要的应用。

一、数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法

我国著名数学家华罗庚曾经说过：数与形，本是相依倚，焉能分作两边飞；数无形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，幾何代数统一体，永远联系切莫分离。 这就说明数与形是紧密联系、不可分割的。数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如通过观察函数的图象来直观的研究函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性、最值等；二是借助于数的精确性和规范性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如借助曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质。实际上就是在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念具体化。在解析几何中，我们充分强调了用代数方法解决几何问题的解析法，它解决了许多紧靠图形无法精确讨论的问题，显示“数”的巨大威力。同时我们也看到许多问题若从“形”的角度去思考，可以找到直观、简捷的解题方案，这充分展现了“形”的无穷力。

二、运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则

1、等价性原则

利用数形结合解决问题时，代数和几何的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞。有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应。

2、双方性原则

既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数进行几何分析容易出错。

3、简单性原则

不要为了“数形结合”而数形结合。具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与二次曲线。

三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧

在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需要做到以下四点：

1、要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；

2、要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；

3、要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；

4、精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。

很多数学概念都具有明显的几何意义，如果能善于利用这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

四、下面我们从几个方面谈谈怎样用数形结合的思想方法解题

（一）数形结合思想在集合中的应用

在高中数学教学过程中，集合知识非常重要，在高考中占一定的比例。所以学好这部分的知识对于学生来说是非常重要的。单纯的讲解会让学生感受不到数学的真实存在性，这样也会使学生在学习的过程中存在这样或那样的问题。所以在集合运算问题中，当所给问题的数量比较复杂，不好找线索时，我们常常要借助数轴、韦恩图来处理集合中的交、并、补等运算，利用直观的图形，从而使问题更加简化，运算更加快捷。

（二）数形结合思想在函数中的应用

利用函数图像来研究函数的性质是一般常见的数学方法之一。函数图像的几何特征和数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征和方法。 利用函数图像的直观性来讨论函数的最值问题，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考察学生的转化能力，逻辑思维能力，是高中函数教学中的重要内容之一。

（三）数形结合思想在方程中的应用

1.用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数的问题是一种非常重要的思想方法，其根本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数。

2.函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标。

（四）数形结合思想在复数中的应用

复数的几何意义用向量表示，把复数与平面几何和解析几何有机地联系起来，复数几何意义充分体现了数形结合的思想方法。所以在解决一些复数问题时可以借助复数的几何意义，从而轻松简洁的解决问题。

经常教导学生在以上领域运用数形结合解决问题，对于培养学生的学习兴趣，提高解题能力是很有帮助的，凡是涉及到几何图形或具有几何意义的数学问题都可以让学生考虑先从几何图形的关系上分析问题，养成从“形数”结合上逐步推理的好习惯。这样做既可以培养对“形数”两方面的分析能力又可迅速的估计出答案或答案的大致情形以寻找并发现解答问题的途径，有时还可以防止和纠正某些计算错误。高考十分重视对于数学思想方法的考查，我们要有意识的运用数学思想方法去分析问题和解决问题，形成能力，提高学生的数学素养。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量的精确刻化与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。所以数形结合思想必须引起高中生的重视。

参考文献：

[1]刘志英.浅谈数形结合思想在高中数学中的应用[J].中学生数理化，2013（5）.

[2]孔令伟.数形结合思想在高中数学教学与解题中的应用[D].辽宁师范大学，2012.