深度学习：让学习真正发生——《三角形的三边关系》一课的教学实践与思考

湖南长沙市长沙县教育研究培训中心 邹旭红

随着“大数据”时代的来临和人工智能与人机交互的大踏步前进，“深度学习”已成为社会生活的重要内容，并被广泛运用到教育教学领域。郑毓信教授在《以“深度教学”落实数学核心素养》一文中，强调学生的数学学习应当成为一种“深度学习”，其核心在于：不应停留于单纯知识（包括数学基础知识和数学基本技能）的学习，而应通过具体知识内容的学习促进自身思维的发展，特别是应当不断提升自身思维的品质，包括由“理性思维”逐步走向“理性精神”。并指出只有教师真正做到了“深度教学”，我们的学生才可能做到“深度学习”，提升核心素养。那么，如何才能有效地促进学生理性地思维，实现“深度学习”呢？下面，以《三角形三边关系》一课为例来谈谈自己的思考。

三角形两边之和大于第三边，这一结论对于四年级的学生来说浅显而直白，没有很高的知识含量。正如曹培英老师说过：三边关系用线段公理直接推理就是，无须证明，这是连动物都知道的事实。实际教学中理想与现实却是背道而驰的，学生对于这样的事实理解是很有难度的。其难点就在于：讨论三角形边的关系是从一个新的视角思考问题，即为什么要把两条边加起来与第三边作比较？如果直接给定一个三角形讲解结论，学生只用5分钟就能理解并能运用结论进行判定，但这样的教学仅仅是“知道”而已，并没有“思维”的价值，如何才能真正驱动学生深入地思考、实现深度学习？选用其中一个教学片段来分析。

一、过程回放;

（一）“围”三角形，直观感受“边”的“长短”影响“三角形”的形成

师：老师这准备长度分别为2厘米、6厘米、9厘米的三根小棒，谁能上来围一个三角形？

（展示台上演示）

生：围成了

生：不行

师：是的，围三角形是有要求的。要像这样，三根小棒要首尾相连才行，这样，三角形三条边的长度才刚好是三根小棒的长度。（边说边用手指黑板）

（二）提出问题，操作探究，感知三角形第三边取值范围

师：那刚刚的三根小棒能不能按这样的要求围成三角形呢？

生：不能。

师：想要把这三根小棒围成三角形，要怎么办？

生：把红色的小棒变长。

师：那固定了6厘米和9厘米，第三条线段在什么范围内就能围成三角形呢？要来研究这个问题，你们有什么好办法吗？

生：找其他小棒试一试。

师：这个主意好！可是老师没有准备那么多红色小棒，只带了这个。（出示直尺）认识吗？

生：直尺

师：没错，谁能带上数学的眼光再看看。

生：上面有线段。

师：你在上面找到了哪些长度的线段？

生1：7厘米、8厘米……

生2：0到20厘米。

师：不同长度的线段找到了，把尺子上跟两根小棒相接的那一段作为第三条线段的长度，（手拿尺子演示）你能想象出围成的三角形吗？真能？那我们来试一个。

展示台上演示：

师：谁上来指指第三条边在哪？围成的三角形又在哪？现在第三条边是几厘米？

生：12厘米。

师：再想象下，将两条边张开得越大，红色小棒就——越长，两边张开得越小，红色小棒就——越短。

师：看样子都明白了。那咱们试试吧，可问题是，我们得试哪些长度呢？

生：3厘米、9厘米……

师：说了这么多长度，怎么没人想试1厘米呢？

生：因为2厘米都围不成，1厘米更围不成。

师：你特别会学习，能从刚刚的学习中寻找经验，了不起！也就是说只要试比——

生：比2大的长度。

出示板贴：

师：为了方便研究，那我们就先从2以上整厘米的长度开始研究。

……

（三）flash动画演示，合情推理，突破难点

师：为了帮助大家理解，老师带来了一个神奇的三角形。这是第三边为12厘米时围成的三角形，如果我拉动这条边，它是会变的哦，想看吗？

生：想。

师：见证奇迹的时刻到了。（教师操作课件，拖动红色的线段）

师：长了吗？13厘米是可以的，继续拉长，这个三角形的样子好像在变哦。

师：14也是可以的，这个三角形变得越来越——

生：越来越扁了。

师：继续拉长到14.95cm、14.97cm、14.98cm、14.99cm呢？（学生想象、交流）

刚刚有人说15厘米可以，想象下，如果拉长到15厘米，会是什么样？（学生思考、交流）

动画演示验证：

生：平了（成一条线）。

师：15厘米可以围成三角形吗？

生：不可以。

师：果然跟你们想的一样，看来我们要把这个问号擦掉了，可以肯定15厘米是不行的。（教师更改板书）你们真厉害，如果再长一点点呢？会是什么样？

生1：会连不上。

生2：会回去。

师：是不是跟你们想的一样呢？

动画演示：

师：它怎么了？

生：断掉。

师：为什么会这样呢？

生：红色的太长了，那两条线段连不上了。

师：想要拉上怎么办？

生：往回拉。

师：好，那我们往回拉试试看（教师操作课件：开始回拉）什么时候又会出现三角形呢？

生1：14.9。

生2：14.99也行。

师：你们想得越来越精准了，也就是说——

生：只要比15小就行了。

师：概括得真好，掌声。

师：三角形又出现了，继续变短，11、10、9…都是可以的，再看看这个三角形，变得越来越——

师：刚刚3厘米我们是存在争议的，认为3厘米不能围成的请坐好，认为3厘米能够围成的请起立。

师：我们继续看，三角形的样子又变了！它好像又要——

生：倒了。

师：3到底能不能围成？（学生思考、交流）

生1：我觉得到了3厘米就又成为一条线段，围不成了。

生2：我觉得到了3厘米就又平了。

师：能围成吗？

生：不能。

师：3厘米的时候啊，也是围不成三角形的。如果继续变短呢？

生：更不能围成。

（四）归纳推理，建立三角形三边关系模型

师：除了把红色的小棒适当延长能围成三角形，刚刚你们还想了什么办法？

生：换另一条边。

师：那就固定2厘米、6厘米两根小棒，那第三条边的范围是多少呢？

生：比4大，比8小（教师板书：4＜□＜8）。

师：为什么？

生：2加6等于8（教师板书：6+2）

师：8也就是这两条边的和。那4呢？

生：6-2。

师：其实也就是这两条边的差。（教师板书：6-2）

师：那我们就带着这种感觉继续来看，如果固定2厘米、9厘米这两根小棒，你能很快想出第三边的范围吗？

生：大于7，小于11。

师：7怎么来的，11呢？

生：9减2等于7，9加2等于11。

师：同学们，探究到这，能说说你有什么发现吗？

小结：看来啊，要围成三角形，第三条边最长要比另两边之和小，最短要比他俩的差要大。

二、思考与认识

1.改进学习材料，搭建思维阶梯，驱动学生思考

为什么我们选择操作实验的路径来教学“三角形三边关系”时，学生总是很难将思维聚焦于两边之和与第三边的关系上。难道真的是路径选择错误，只能用初中的线段公理教学吗？纵观以往的各种教学案例，我们就发现，大部分教师在课堂上都是提供几组任意长度的三条线段（或是用一根整厘米的线段来任剪三段）让学生操作探究，我想这才是导致学生学习难点产生的根本原因。因为从数学本质上分析，这里涉及一个三元函数的问题，当我们选取任意的三条线段的长度a、b、c时，就等同于函数的三个变量。找到问题的症结就好办了，只需顺应学生思维，改进学习材料即可。因此，将实验设计成固定长度为9cm和6cm的蓝、绿两根小棒，用直尺代替第三根（红色）小棒，只观察第三根小棒的长度范围。学生在操作、观察、验证的过程中，直观地发现第三条线段超过15厘米时，蓝、绿两根小棒就接不上，不能围成三角形，比3厘米短时，蓝、绿两根小棒就会有凸出来的部分，也围不成三角形。由此，就帮助学生在思维阻滞处搭建了一个脚手架，让其顺理成章地感知要围成一个三角形，就必须用“两边的和与第三边比较”。

“深度学习”的课堂倡导数学课要有浓浓的思考味，就须想得更清晰、更全面、更深刻，达到“理性地思维”。于是，在第一个操作实验后，教师在学生对三边关系有了初步感知的基础上，继续引发深度思考，接着追问：想想看，如果固定长度为2cm和6cm红、绿两根小棒，那么第三根小棒的长度范围是多少？学生原来觉得已经清晰的认知，再次遇到阻碍，又陷入沉思之中。经过独立思考、师生交流，再次建立认知平衡，蓝色小棒要在4cm和8cm范围内。到这个环节，应该说学生联系前面的经验，通过想象，再到动画的演示验证，已基本理解了第三条边的取值范围，但离深刻理解三角形三边关系性质还有距离。在此基础上，教师有了第三次追问：如果红、蓝两边不变，绿色边的长度又在什么范围？通过一而再地追问，给学生不断地搭建思维的新台阶，促使学生将新积累的经验积极地迁移到新的问题中，使学生的思考更全面、更理性，对知识的建构更深刻。

2.借助信息技术，聚焦学生思维，巧妙突破难点

采用数学实验操作探究三角形三边关系这一方法时，在教学中有一个难点：当两边之和等于第三边时，由于小棒不够细，学生经常误以为是能够围成的。而老师在此环节颇费心思：有的不断改进学具，从小棒到牙签，要多细有多细；有的则反其道而行，改用透明胶片或长方形纸条，同时辅助多媒体、放大镜试图减少误差，让学生观察到还有一点缝隙，此时是不能围成三角形的。老师煞费苦心，效果却差强人意。须知在数学学习过程中任何一个深刻的理解不可能是一蹴而就的，只有学生在学习活动过程中及时加以调整和修正，澄清关于这个知识的疑虑，才能形成正确的数学知识。“两边之和等于第三边是不能围成三角形的”这个难点的突破也经历这样一个过程。在操作探究后对于两边之和能不能围成三角形，学生思维是有疑虑的，大部分学生在操作、观察的基础上认为是能围成的。这个环节，教师不急于给出方向的引导，而是“慢”下来，让学生的思维在此处“飞”了一会儿。先用动画演示：当红色线段依次为12cm、13cm、14cm长度时，观察三角形有什么变化，并及时追问：想想继续拉长到14.5cm、14.9cm时，三角形又会怎么变？继续拉长到14.95cm、14.97cm、14.98cm、14.99cm呢？如果不拉你能想象到三角形的变化吗？等学生脑中逐步有了图像，再用动画演示验证。这样通过不断调整、修正，使得学生思维发展从混沌到清晰有了可能。在这个基础上接着追问：“如果拉长到15会怎么样？”通过一系列的问题引发学生的思考和想象，再用动画验证，层层递进，突破难点，把三角形三边知识一步步引向深入。在学生思维困顿之处，留时间，给空间，搭支架，让学生自己去发现规律、纠正和补充错误或片面的认识，加深对所学内容的理解。

总之，小学数学教学应围绕“让学习真正发生”来充分展开，深度关注新知识本身蕴含的潜在意义、学生的背景知识和情感体验、学生学习的认知策略，让新知识的组织与呈现方式交融在一起，学生的学习才会显得更具生命力。♪