浅谈数列的教学

张云标

摘要：对于高考中的数列解答题，因它能有效地考查学生的逻辑推理能力，运算能力，以及运用相关知识分析问题，解决问题的能力，所以在命题的方向上常将数列与函数，数列与方程，数列与不等式等知识进行有机的结合，从而使试题变得更具有新意，更能有效地考查学生的思维品质和创新意识，且试题往往具有较好的区分度。为此，笔者结合自已的高中教学实践对高中数列的教学谈几点看法，以供读者参考。

关键词：数列；迭代法；策略

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2018）36-0149-02

1.要注重an与sn的关系并把其作为解题的突破口，来寻求解决数列问题的解题途径

案例1已知数列{an}的前n项和sn满足sn=2an+（-1）n，n≥1

（1）写出数列{an}的前三项a1，a2，a3； （2）求数列{an}的通项公式

（3）证明：对任意的整数有m>4，有1a4+1a5+…+1am<78.

解：（1）由題设所给条件易得：a1=1，a2=0，a3=2.

（2）由an与sn的关系：易得∴an=23[2n-2+（-1）n-1] （n≥1）.

（3）证明：由通项公式得a4=2，当n≥3且n为奇数时，

1an+1an+1=32[12n-2+1+12n-1-1]=

32·2n-1+2n-222n-3+2n-1-2n-2-1

<32·2n-1+2n-222n-3=32·（12n-2+12n-1）

所以，当m>4且m为偶数时，

1a4+1a5+…+1am=1a4+（1a5+1a6）+（1a7+1a8）+…+（1am-1+1am）<12+32·14×（1-12m-4）<78

同理， 当m>4且m为奇数时，

1a4+1a5+…+1am=1a4+（1a5+1a6）+（1a7+1a8）+…+（1am-2+1am-1）+1am

<78+3（<12m-1+2-12m-2）<78.

综上所述，1a4+1a5+…+1am<78.

小结：本例以an与sn的关系为主线找出解题的突破点，然后借助于不等式的知识一气呵成，巧妙求解.

2.要注重“迭代法”在求解数列问题中的作用和地位

案例2，已知点的序列An（xn，0），n∈N+其中x1=0，x2=a（a>0）.A3是线段A1A2的中点，是线段A2A3的中点……，An是线段An-2An-1的中点……，求数列{xn}的通项.

解： 由题设所给条件易得

xn=xn-1+xn-222xn+xn-1=2xn-1+xn-2=……=2x2+x1=2a.故xn=-12xn-1+a.

∴xn-23a=-12（xn-1-23a）利用“迭代法”即得所求数列的通项：xn=23a[1-（-12）n-1]

小结：一般地，形如：an+1=pan+q， an+1=pan+f（n），an+2=pan+1+qan 等形式的常见递推关系的数列的通项均可以用“迭代法”来求解.

3.要关注以高等数学的相关理论为知识背景，来引导探究解决数列问题的解题策略

案例3，设数列{an}满足an+1=a2n-nan+1，n=1，2，3….

（1）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜出an的一个通项公式；

（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1有： （i）an≥n+2；

（ii）11+a1+11+a2+…+11+an≤12.

解：这是以数列和不等式的基础知识为载体，考查猜想，归纳，迭代，递推，放缩，推理以及分析问题和解决问题能力的一道好题.此题入口较宽，（1）及（2）中的（i）不难解决，留给读者思考.而（2）中的（ii）难到了不少考生，拉开了档次，体现了高校与中学在数学能力方面的衔接的要求.

从高等数学级数的观点来看，正项级数∑∞n=111+an的前n项和有上界，故级数∑∞n=111+an收敛，其收敛速度不大于∑∞n=112a+1的收敛速度（∑∞n=112a+1=12）.有比较判断法可知，必有11+an≤12n+1，即1+an≥2n+1.故问题就可转化为证明： 1+an≥2n+1.

从初等数学的角度来描述上面的过程：为了便于比较大小，应使所研究的不等式两边有相同的结构. ∵11+a1≤14，又14+18+…+12n+1≤12

∴只须11+a1+11+a2+…+11+an≤14+18+…+12n+1

≤12即可.

比较两个通项11+an与12n+1的大小，即只须证明1+an≥2n+1.

上面我们分别从高等数学和初等数学两个角度出发，跟踪追索到只须证明同样的一个不等式：1+an≥2n+1 .下面从题设出发，来证明这个不等式.

由题设an+1=a2n-na+1得1+an+1=an（an-n）+2≥an（n+2-n）+2=2（1+an）

即：1+an+11+an≥2，累乘可得1+an1+a1≥2n-1，即1+an≥2n-1（1+a1）≥2n+1问题就解决了.

小结：此题留给我们的启示是：在复习和备考中，要关注高等数学和初等数学的衔接点，培养学生具备把陌生的问题转化为熟知问题的能力，这样在高考中才能充分发挥出潜力来.

4.要关注特殊数列出现的形式特点及解题对策，以利于开阔学生视野，帮助学生提高观察问题，分析问题，解决问题的能力

案例4，设{an}是集合{2t+2s|0≤s

将数列各项按照上小下大的原则写成如下的三角形数表：

（1）写出这个三角形数表的第四项，第五项各数；

（2）求a100.

解： 这是一道以数列的特殊结构形式为载体，考查学生对数列，排列组合等知识的掌握程度以及观察，分析，解决问题的能力.

（1）由题设所给条件易得：第四项各数为 17 18 20 24.

第五项各数为 33 34 36 40 48.

（2）设n为an的下标.注意观察三角形数表的结构特征易得：

第t项第一个元素的下标为t（t-1）2+1，第s个元素下标为t（t-1）2+s，该元素等于2t+2s-1

据此判断a100所在的项.因为14×（14-1）2<100≤15×（15-1）2所以a100是三角形数表第14行的第9个元素.故a100=214+29-1=16640