数学学习中的直觉与误解

郑倩 郜舒竹

【摘 要】学生数学学习中出现错误是一种必然且普遍的现象，错误的产生往往源于误解，而误解往往源于直觉。直觉现象十分普遍，会形成一种认知规律。作为教师了解数学学习中这样的规律，对于提高教学的针对性十分必要。

【关键词】错误；误解；直觉规律

每个人在数学学习中都会出现错误，错误在数学学习中具有必然性和普遍性。如果把学生数学学习中出现的错误看作是一种现象，那么探寻错误产生的原因及其规律，并将其应用于数学教学，就成为数学教学研究的重要课题。研究的基本逻辑是“错误源于误解，误解源于直觉”。

以色列学者菲茨拜因（Efraim Fischbein）在其研究中指出：直觉是基于判断信息种类或关系的思维模式和行为模式。在此思维模式的作用下会形成有规律的行动。菲茨拜因将人的理解和认知过程分为两类，一类是直觉的，一类是逻辑的。学生受初学知识的影响，常因为直觉认知导致最后结果的错误。[1]

2006年，潘德丽莎、安尼塔和德梅特拉（Pandelitsa Papageorgiou， Annita Monoyiou， Demetra Pitta-Pantazi）针对“三角形越大，内角和越大”这一判断做出了量化研究。他们选取77名六年级学生进行测试。这一测试设计了三个任务。

任务一出示了三角形ABC和三角形DEF，其中AB[<]DE，BC[<]EF，AC[<]DF（如图1所示）。判断三角形ABC的内角和小于三角形DEF的内角和是否正确，并解释判断原因。

任务二出示了在三角形ABC中，所有的角都小于90°。在三角形DEF中，∠E大于90°（如图2所示）。学生判断三角形ABC的内角和与三角形DEF的内角和的大小关系，并进行解释。

任务三出示了四边形ABCD和四边形EFGH。AB[<]EF，BC[<]FG，AD[<]EH，DC[<]HG（如图3所示）。学生判断四边形ABCD的内角和小于四边形EFGH的内角和是否正确，并解释原因。

任务一的测试结果显示，多数学生（56.2%）错误地认为“三角形越大，内角和越大”。几乎所有出现错误的学生都依据“因为三角形大，所以内角和大”进行解释。

任务二的测试结果显示，70.1%的学生没有回答正确。他们认为“锐角三角形的内角和小于钝角三角形的内角之和”。一部分学生（48.1%）认为“角度越大（[>]90°）内角和越大”。

对于任务三，近三分之二的学生（62.3%）错误地认为“四边形ABCD的内角和小于四边形EFGH的内角和”。37.7%的学生认为“图形越大，内角和就越大”“图形的每条边变长了，内角和就变大了”。

通过这一研究可以发现，当学生面对两个不同的三角形或四边形时，会先关注这两个图形之间大小这样的显著特征。图形大小的变化影响了学生对内角和的判断。类似于这种“图形越大，内角和越大”的直觉现象极其普遍，因此常被称为“越—越（More-More）”直觉规律。

1984年，福克斯曼和鲁多克（Foxman， Ruddock）对五年级学生进行角大小比较的测试，任务中分别呈现了两个边长不同的角，要求学生判断角的大小。在已知角的大小与画出的边长无关的情况下，仍有33%的学生出现错误，认为“边长越长，角越大”。

1997年，阿扎哈里（Azhari）针对1、3、5、7、9年级的学生进行面积与周长的测试。通过观察图片，比较左边长方形与右边多边形的周长（[P1，P2]），如图4所示。学生认为[P1>P2]的比例分别为75%、73%、75%、70%、70%。在图中，学生可以准确地判断出由于从长方形中分割出了一个小矩形，所以左边长方形的面积大于右边多边形的面积。因为面积变小了，因此周长变小了。

这种极具普遍性的直觉规律具有自信（confidence）、顽固（perseverance）、整体（globality）、强制（coerciveness）和可预见（predictive power）的特征。这些特征深深地影响了学生的判断，造成了学习中的误解。尽管结果与常规学习的结果相反，学生仍会非常自信地使用直觉规律，并坚定自己被直觉规律支配的错误判断。这也是误解根植于学生心目中的重要原因之一。直觉规律的顽固性也直接影响着学生错误的出现。学生会根据已有的生活、学习经验不断认可心中的直觉规律，在面对新的学习任务时，习惯性地使用它。直觉与逻辑相反，是对整体的认知，是循序的、分析的。[2]直觉规律的整体性体现在学生对任务的认知方式上。学生关注任务本身的整体特征，通过感知与分析得出最后的结论。直觉规律对个体的推理策略以及对假设和解决方式的选择施加强制作用。[3]这意味着学生倾向于拒绝接受那些会违背其直觉的解释。例如，学生甚至成年人都相信“越乘越大”和“越除越小”，他们从小就习惯了这种信念。后来，即使在学习了有理数的概念之后，仍然持有相同的信念。显然，这不再是正确的。除此之外，直觉规律还具有很强的预测能力。教师在了解直觉规律的作用机制后，能够从思维层面了解学生在数学学习中的误解，预见学生的反应。

因此，教师可以从误解的角度改善教学活动。在注重呈现三角形内角和等于180°的同时，意识到学生心中存在“三角形越大，内角和越大”的误解。教师可以通过布置任务的方式，让学生思考产生这样误解的原因。以小组合作的方式组织教学，首先出示上文中的三个任务，让学生快速地通过直觉进行判断，呈现出错误。接着，鼓励学生主动思考并讨论出现这样错误的原因。通过小组探究，总结出直觉规律，在今后的学习中尽量避免此类错误的产生。同时，教师鼓励学生不仅依赖于任务的外部特征，更要观察变中的不变，进行严谨的逻辑推理，批判性地看待自己的答案，发展学生的元认知评价能力。同时，针对“越—越”规律分析其适用性，揭示利用直觉规律解决问题的局限性。

利用直觉规律能够了解学生的思维规律，找出学生存在的误解，预见学生的错误。从直觉的角度出发，可以帮助教师理解错误的合理性，准确地诊断学生的困难所在，更有针对性地进行教学。

参考文献：

[1]Efrain Fischbein. Educational Studies in Mathematics： Intuition and schema in mathematical reasoning [M]. The Netherland： Kluwer Academic Publishers，1999：14.

[2]Efrain Fischbein. Educational Studies in Mathematics： Intuition and schema in mathematical reasoning [M]. The Netherland： Kluwer Academic Publishers，1999：30.

[3]Efrain Fischbein. Educational Studies in Mathematics： Intuition and schema in mathematical reasoning [M]. The Netherland： Kluwer Academic Publishers，1999：29.

（首都師范大学初等教育学院 100048）