在比较中促进数学概念的理解

束苏敏 张秀花

【摘要】数学概念的建立和完善要经历一个完整的过程，在这个过程中，教师要为学生提供丰富的素材和有效的方法，才能促进学生更好地理解数学概念。教学时，我尝试着将面积和周长这两个概念在比较中系统认知。从周长开始，在不同的长方形中发现它们的大小不同，引出面积概念；接着在铺教室地面的活动中，逐步建立起清晰的面积概念，知道物体表面的大小就是物体表面的面积；然后在比较面积的活动中，再次完善面积的概念，知道平面图形的大小就是平面图形的面积，且在不同的比较面积的方法中，优化出数方格的面积比较方法；最后在拼图游戏中，引导学生感悟两者虽有不同，但其实也有联系，实现新旧概念的融通，拓展学生的思维。

【关键词】比较；数学概念；拓展思维

“面积的认识”是苏教版三年级下册的教学内容，本节课是在学生已经认识周长的基础上学习的，又是为下面学习长方形和正方形的面积打基础的。面积和概念是一组相关联的数学概念，学生理解得不够透彻的话，在实际应用时就容易混淆。教材从生活实际出发直接引出面积概念，学生可以专一的认识面积，但实际教学时感觉效果欠佳。能否在学习面积概念之前，回顾一下周长的概念，再在对比中感悟两者的不同，即周长是围成图形的一周边线的长度，面积是物体表面或平面图形的大小。接着在数学活动中充分地认识面积，并在比较中促进数学概念的理解呢？

板块一：回顾周长

师：同学们，认识它吗？对，这是我们最熟悉的数学书封面，你知道它的周长在哪里吗？用手比划一下。

师：没错，数学书封面一周边线的长度就是它的周长。今天我们的学习就从已经认识的周长开始。

师：用一根14厘米长的线围一个长方形，可以围成怎样的长方形？长和宽各是多少厘米？你是怎样想到的？

生：可以围出长6厘米、宽1厘米的长方形，长5厘米、宽2厘米的长方形，长4厘米、宽3厘米的长方形。

师：围出的这三个长方形，有什么相同的地方吗？为什么？

生：周长都是14厘米。因为线的长度就是它们的周长，所以它们的周长相同。

师：有什么不同呢？

生：长和宽各不相同。

生：它们的大小也不同，有的大，有的小。

师：你所说的大小指的是哪里呢？让我们一起来关注下这根14厘米长的线围成的里面部分，这儿还叫周长吗？你知道叫什么吗？

师：数学上，我们把边线围成的这一块的大小叫作它的面积，今天我们就一起来认识面积。（板书课题：面积的认识）

师：以前听说过面积吗？ 举例说说。你认为面积指的是什么？（板书：面的大小）

【评析：面积和周长是两个彼此高度关联，却各有不同的两个数学概念，也是学生在实际应用时容易混淆的知识点。比较是数学教学中经常要用到的一种思维方法。通过比较，引导学生對数学概念的本质属性和非本质属性加以区别，强化概念的本质属性。为此，教师先从数学书封面开始，回顾一下周长的概念，再用一根绳子围成不同的长方形，发现这些周长相同的长方形的大小不一样，让学生把注意力集中到边线围成的图形里面的部分，从而引出面积。这个板块在比较中促进数学概念的理解显得很有实效，学生既能初步感知面积，又能明晰周长和面积这两个概念的本质区别。】

板块二：认识面积

师：老师想请你们铺一铺教室的地面。用一个长方形表示地面，为你们准备了两种不同形状的地砖，一种正方形，一种圆形，在作业纸上铺一铺。

活动一：铺地面

活动要求：1.同桌合作。

2.先用两种地砖试一试，再选择合适的铺一铺。

学生活动，教师巡视。

师：你们铺好了吗？用了什么形状的地砖？

生：用的正方形地砖。

师：咦，奇怪了，为什么你们没有选择圆形地砖来铺呢？

生：圆形地砖有空隙，不能铺满整个地面。需要把这些空隙也填满才行。

师：你们试过吗？是这样吗？为什么不能有空隙呢？

生：空隙的地方也是它的面积。

师：老师增加了一些其他地砖，把这些空隙填满，现在铺出它的面积了吗？什么是地面的面积？

师：地面的大小就是地面的面积，它包括地面的每一个角落。

师：数学书封面的面积在哪呢？用你们的手摸一摸，对，要摸到每一个角落。你能说说其他物体的面积吗？什么是课桌面的面积？

师：真棒，我们身边有许多不同的物体，这些物体表面的大小就是它的面积。

【评析：什么是面积？教材中没有给出明确的定义。在这个板块，教师从概念的本质出发，通过动手铺地面这个活动，要求学生在正方形和圆形两种地砖中选择一种，铺出地面面积，并且思考为什么不能用圆形的地砖铺。如果用圆形地砖铺，就必须再将空隙部分填满。这个铺地面的活动过程，让学生更为直观地感受到地面面积在哪里，地面面积包括地面的每一个角落。突出面积是整个面的大小，细化对数学概念的准确认知。接着再通过让学生举例身边哪些物体有面？什么是物体表面的面积？从而让学生明确物体表面的大小就是它的面积。】

板块三：比较面积

1.比较面积——观察法。

师：我们根据物体表面的形状，可以画出不同的平面图形。出示一些常见的平面图形，有：长方形，正方形，圆形，三角形。

师：它们的面积在哪里呢？老师在心里想了一个图形，用手掌摸一摸比划一下，请你猜猜它是什么图形？圆形。你能像老师这样，也用手掌摸一摸比划出其他图形的面积吗？（依次出示其他三个图形的面积）

师：这些平面图形的大小就是它们的面积。

师：这里的面积有大有小，哪个图形的面积最大？

生：圆形。

师：哪个图形的面积最小？

生：三角形。

师：许多时候，我们能通过观察，一眼比较出图形的大小。

2.比较面积——重叠法。

师：我们仅通过眼睛看，不是确定谁的面积大，谁的面积小，怎么办呢？比如有什么办法来比较正方形和长方形的面积大小？

生：把2个图形重叠起来看一看。

师：怎样重叠？

3.比较面积——数方格。

师：还有其他方法吗？（提醒：借助其他的东西，回忆一下铺地面的时候）

生：还可以用其他的图形去铺，就能比较出大小了。

师：下面就请同学们用想到的方法去试一试，材料袋里有尺、小正方形、剪刀、方格纸等，请先看活动要求。

活动二：比较面积大小

活动要求：

1.同桌合作。

2.选择合适的材料，比较出它们的面积大小。

学生活动，教师巡视。

交流展示

如果有学生用尺量，则

师：谁来演示一下？这样量可以吗？为什么？

师：用尺量出的是长度，不是面积。

重叠法：

师：哪些同学将2个图形放在一起，重叠起来比较的？

生实物投影演示。

师：有些时候，我们可以把两个图形放在一起比，会发现图形有部分重合，如果2个图形都有未重合的部分，我们就需要剪一剪，再比一比。

数方格：

师：哪些同学像铺地面一样，用摆小正方形的方法比较的？

生：我用长16个小正方形铺满了大长方形，又用16个小正方形铺满了大正方形，所以它们的面积一样大。

学生操作演示，其他同学一起跟着数。

师：我发现有人用这个方格纸来量的，速度可快了，谁来演示一下？

学生操作演示，其他同学再次一起跟着数，感悟面积大小。

师：刚才的方法，你喜欢哪一种？为什么用方格纸测量面积？有什么好处？

师：老师也喜欢用方格去量，用方格量，面积的大小就可以用一个准确的“数”来表示。这种方法叫作数方格，是我们认识面积常用的方法。（板书：数方格）

【评析：平面图形的大小就是它的面积。这个板块教师从物体表面抽象出不同形状的平面图形，有长方形、正方形、圆形和三角形等。接着让学生猜一猜，摸一摸它们的面积分别在哪里。进一步明确平面图形也有面积，平面图形的大小就是它们的面积。在第二板块的基础上使学生全面、正确地理解面积概念的内涵，体现严谨的治学态度。面积的大小比较是本课的一个难点，教师先让学生通过观察比较几个平面图形的面积大小，一眼判断出圆的面积最大，三角形的面积最小。当正方形和长方形的面积大小不能通过观察准确判断时，再动手操作自主探究比较面积大小的其他方法。探究数方格的方法时，重点让学生在实物投影上展示用小正方形铺满大正方形和长方形的过程，学生直观地发现都用了16个小正方形，所以两者面积相等。接着再引出更為简洁的方格纸，直接数一数、比一比。最后，再伴随着问题思考：你喜欢哪一种方法？为什么用方格纸来测量面积？有什么好处？让学生清晰地感悟到：用数方格的方法，面积的大小就能用一个准确的数来表示了。初步认识到面积的数就是面积单位的个数，概念的认识逐步有形到数，由感性走向理性。】

板块四：面积和周长

师：一开始，我们用同样长的两根绳子分别围出了一个长方形，它们的周长都是14厘米，它们的面积各是多少？

师：比一比，你有什么发现？周长相等，面积不相等。

师：看来，面积和周长之间还有一些小秘密呢，究竟还有怎样的秘密呢？咱们来玩一个游戏，先看活动要求。

活动三：游戏

活动要求：1.同桌合作，一人用6个小正方形在桌上拼出一个平面图形；另一人在作业纸上画出拼出的图形。

2.想一想，它们的面积和周长各是多少？

师：同学们的创意真不少，拼画出了不同的平面图形，咱们选择几个有代表性的来看一看，拼出这些的跟老师挥挥手。

师：这些图形有什么相同的地方呢？

生：面积相等，都是6格。

师：那周长呢？谁来数一数？

师：你发现了什么？（给予学生充分交流的时间）

生：面积相等，周长可能相等，可能不相等。

师：那么，周长相等的时候，面积呢？

生：周长相等的时候，面积可能不相等，也可能相等。

【评析：面积和周长这两个概念在实际应用中容易混淆，它们之间的变化关系更是复杂多变。为了丰富学生的认知，这一板块教师着力让学生在游戏中感悟面积和周长之间的变化关系，融通概念。教师先引导学生回顾课一开始用14厘米长的线段围成的三个长方形，在比较中发现，它们的周长相等，面积不等。然后再用6个相同的小正方形拼成不同平面图形，选取几个具有代表性的不同的平面图形，一起观察交流，根据课堂时间及学生实际情况努力去发现：周长相等的时候，面积也可能相等；面积相等的时候，周长可能相等，也可能不相等。这一板块的设计和第一板块相呼应，既凸显了课堂里新旧知识、前后教学内容的联系，又融入了辩证的思想，相得益彰。】

【作者简介】

张秀花，江苏省特级教师，江苏省人民政府教育督导团专家组成员，省小数会常务理事，扬州市教科院小数教研员。荣获全国教科研先进个人，省先进教育工作者，省“333”高层次人才培养对象，江苏省教师资格证书考试省级考官，扬州市“领雁工程”第一层次培养对象，多次应邀到贵州、青海、山西、湖南等地公开教学和科研讲座。在《人大复印资料（小学数学教与学）》等中文核心期刊发表多篇科研论文，科研业绩入编《特级教师思想录》。个人专业发展成果在《小学数学教学》《小学教师培训》等杂志以名师在线、特级访谈等形式推介。2017年前往美国加州长滩州立大学研修毕业，目前主持两项省“十三五”规划重点课题。

束苏敏，扬州市小学数学中青年教学骨干，曾获江苏省“蓝天杯”课堂教学比赛一等奖，扬州市“百堂好课”一等奖，扬州市“智慧课堂”录像课一等奖等；多篇论文在各级各类杂志发表或获奖。