数形结合，引领数学思维发展的应然追寻

张莉

【摘要】数与形是数学的两个基本属性，数学是研究“数”与“形”的科学。通过数形结合，可以把抽象的数学语言、数量关系，与直观的几何图形、位置关系结合，有助于促使学生对数学知识的理解，更好地建构知识。在数学课堂教学中，教师应从学生的已有知识经验水平出发，直面学生的学习现实，基于数形结合，引导学生参与认知的全过程，在自主建构中不断发展学生的数学思维，提升学生的数学学科素养。

【关键词】数形结合；数学思维；数学思考；数学素养

《义务教育数学课程标准（2011年修订版）》指出：“教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。”数学教学，不仅仅是知识与技能的教学，更重要的是让学生在数学学习活动的过程中，积累数学活动经验，感悟数学思想和方法，引领数学思维的发展，形成数学学习能力，培养学生的数学学科素养。

数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”数与形是数学的两个基本属性。通过数形结合，可以把抽象的数学语言、数量关系，与直观的几何图形、位置关系结合，有助于促使学生对数学知识的理解，更好地建构知识。

一、从数到形，以数激趣

数与形，一直是数学学习中重要关注的对象，数学是研究“数”与“形”的学科。数与形的结合，一方面激发了学生学习的兴趣，另一方面利于学生理解数学，引导学生从数学的认知上来展开探索的欲望，为后续知识的学习做好铺垫。

如苏教版数学三年级下册“识识一个整体的几分之一”的教學，是从数的认识开始引入，以数激趣，与图形结合，不断引导学生的认知走向深处。

课的开始，师引导学生回忆：大家对分数的认识不陌生，你能说出一个几分之一的分数吗？

生：二分之一，三分之一，五分之一……

师：能说一说这些分数的意思吗？

结合学生说出的分数，引导学生说出这几个分数的意思。

教师出示一个长方形，引导学生思考：如何表示出这个长方形的四分之一？

学生交流：把这个长方形平均分成4份，表示其中的一份是长方形的四分之一。

教师出示一根线段，引导学生思考：如何表示出这根线段的四分之一？

学生交流：把这根线段平均分成4段，表示其中的一段是全长的四分之一。

教师指出：把一个物体平均分成几份，其中的一份就是它的几分之一。

在教学中，教师先引导学生回忆分数几分之一，在唤醒学生的认知基础上，结合图形表示分数的几分之一，进一步让学生体会分数与现实生活的联系，增强学生学习数学的兴趣，提高学生学好数学的信心。

二、由动到静，借图用数

数学学习，对于学生来说，重在理解知识的过程。一些抽象的数学知识，可以通过简单的图形进行转化，便于学生更好地理解。把数学知识由数到形进行变化，由复杂的数的知识转化成简单的形，让学生更好地把握问题的本质特征，充分地利用图形来解决数的问题，让学生以图来建构数学知识。

如苏教版数学五年级下册“解决问题的策略——转化”的教学，教师就是结合图形，把复杂的数学变得简单化，让学生在解决问题的过程中，体验转化的数学方法，在应用转化中感受转化的思想方法，积累数学活动的基本经验，发展学生数学思维的灵活性和敏捷性。

教师先引导学生观察算式中分数的特点，结合特点，思考：如何求出这4个分数的和？

学生交流：可以把4个异分母分数运用通分的方法转化成同分母的分数计算出得数。

在此基础上，教师引导学生结合分数的意义，用图来表示4个加数。

师：把正方形看作单位“1”，怎样涂色表示二分之一，四分之一，八分之一，十六分之一这4个加数？

引导学生思考：要求这4个分数相加的和，是求正方形中什么部分的面积？

学生交流1：要求这4个分数相加的和，就是求正方形中涂色面积的大小是多少。

学生交流2：涂色面积的大小，也可以用整个正方形的面积减掉空白部分的面积。

在这里，教师依据加数的特点和规律，引导学生通过画图表示，发现算式的结果。除了通过求和表示，也可以通过用单位1来减去空白部分的面积。利用图形与数的结合，把动态的求和过程转化为简单的以图求解的过程，把枯燥的数学知识的理解，通过具体的几何图形，变成易于学生学习的生长点与延伸点，注重了知识的结构与体系，使学生感受了知识之间的联系，由抽象到直观，让学生感受了转化的策略，积累了数学活动的基本经验，使学生依据问题的特点，及时把数转化成图形来解决问题。数学学习变得生动的同时，又不失数学的内涵，让学生触摸到了数学学科的本质。

三、以图推数，依图明理

史宁中教授曾说过：“数学的核心素养不能是终极目标，数学教育的终极目标是会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。”

数学抽象是数学的本质特征之一，是数学学习中基本的数学思想方法。它是对客观世界中的空间形式和感性表象进行加工、提炼，找出知识的本质属性，形成易于学生理解的数学结论的过程。在这个过程中，学生能够体会知识的形成过程，抽象思维的能力得以进一步发展。因此，在数学学习活动中，教师要引领学生参与知识学习的全过程，让学生经历数学抽象的过程，通过数学化的方式，及时培养学生的数学抽象概括能力。

如苏教版数学六年级下册“圆锥的体积计算”的教学，教师结合图形，在圆柱和等底等高的圆锥体积关系的基础上，引导学生进行推理，进一步探究数学的规律，提升学生的数学认知。

出示：一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。

思考： 一个圆柱和一个圆锥底面积相等体积也相等，圆锥的高与圆柱高的关系？

通过引导学生进行数学推理，变封闭、被动的学习为开放、主动、动态的探究，不断引领学生进行自觉的数学思维，使学生掌握数学学习的方法，提升学生的数学素养。

四、从思及用，用图解题

学生学习数学的过程，是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。在数学活动中，教师应从学生已有的认知基础和经验出发，不断地引导学生从抽象的数学语言开始，结合具体的数学图形，培养学生不断分析问题的能力，巧妙地催化解决问题的能力，启发学生的数学思维，推动学生的数学核心素养的发展。

如苏教版数学四年级下册“解决问题的策略”的教学，教师就是充分利用线段图，数形结合，从不同角度展开问题思考的。

教师出示：“小宁和小春一共有72枚邮票，小春比小宁多12枚，两人各有多少枚？”引导学生画出线段图，思考并求出两人各有多少枚？结合原有的解决问题的经验，把条件中两个不相等的数量转化成相等的数量即可。学生自己解答，集体交流。

生1：把总数看成两个小宁的邮票数，总数就需要去掉12枚是60枚，小宁是60除以2等于30枚，小春就是30枚加12枚等于42枚。

生2：把总数看成两个小春的邮票数，总数就需要加上12枚是84枚，小春是84除以2等于42枚，小宁就是42枚减12枚等于30枚。

生3：把72枚总数平均分成两份，小宁和小春各取一份是36枚，再把小春比小宁多的12枚平均分成两份，每份是6枚，小宁的36枚去掉6枚等于30枚，小春的36枚加6枚等于42枚。

这个教学环节中，教师引导学生从不同的角度独立思考，确定解题思路，数形结合，不断生成不同的解决问题的策略，形成灵活而灵动的思维品质。

总之，在数学课堂教学中，教师应从学生的已有知识经验水平出发，直面学生的学习现实，基于数形结合，引导学生参与认知的全过程，在自主建构中不断发展学生的数学思考，提升学生的学习品质。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.