数学课堂诊断性教学探析

蔡甜甜　宁连华

摘 要：数学课堂诊断性教学，具有即时反馈性、思维参与性、推理检验性等特征，根据学生数学认知结构，可分为知识理解的诊断、策略运用的诊断和自我监控的诊断.在数学课堂中，教师可采用观察、倾听、提问、讲练结合等方式实施诊断性教学，但应注意紧抓数学学科特点，提高自身数学素养，重视诊断性教学设计但不囿于预设，以学生、知识为中心.

关键词：数学课堂；诊断性教学；教学偏差

一、数学课堂诊断性教学的内涵与特征

数学课堂诊断性教学，是指在数学课堂教学环境下，教师通过观察、提问、对话等师生交互活动，收集有效信息，分析学生的数学知识结构与数学素养达成情况，诊断学生学习以及教师教学活动的优势与不足，重点关注存在的问题，剖析产生教学偏差的原因，及时反馈，做出有矫正作用的教学决策.

基于课堂教学的交互性、生成性等特点，以及数学学科的本质特性，数学课堂诊断性教学具有如下特征：即时反馈性、思维参与性、推理检验性.

（一）即时反馈性

教学的基本特征就在于其不确定性与不可预测性，这在数学课堂教学中体现得尤为显著.在数学课堂中，教师提问常可能收获超预期的反馈，学生时常会有与教师预设不同的“非标准思路”出现，数学教师教学交互决策也因而具有动态生成性.课堂中的生成性资源，为实施诊断性教学提供了丰富的原材料，也提出不小的挑战.数学教师如果只止步于判断教学中取得的成果或存在的问题，而不及时采取改进措施，就不是完整的诊断性教学应有的形式.诊断性教学的关键就在于教师需要根据诊断结果及时调整教学决策，给予学生即时反馈，如肯定学生的创新思维，指出学生数学理解中的误区，鼓励学生进一步探究更难的数学问题，等等.

（二）思维参与性[1]

数学的抽象性与严谨性决定了数学是以理性思维为主的科学，教育学界也普遍认可数学是教思维的学科.数学课堂教学中创设情境、提出问题、构建新知等每一个环节都涉及抽象、概括、归纳、演绎、分析、综合等数学思维活动，因而数学课堂中的诊断性教学十分强调思维的参与性.教师所需诊断的不仅限于学生对数学基础知识、基本技能的掌握情况，还应关注学生的内隐思维活动，分析学生数学基本思想的感悟、基本活动经验的积累情况，这是开展数学诊断性教学必须明确的关键问题.

（三）推理检验性

医学诊断是一种临床推理活动，教师在课堂教学中也像医生一样进行着专业判断和决策.教师和医生都是临床信息的积极处理者，这也引发了舒尔曼对教师教学过程中的推理活动的研究兴趣.舒尔曼提出教学推理与行动的模型，其中包含评价环节，评价的过程包括以提供反馈和分数为目的的较为正式的测验和评估，也包含在互动式教学中为了解学生的理解水平和误解所采取的及时跟进式的检查[2].“及时跟进式的检查”正是诊断性教学的核心.在数学课堂中实施诊断性教学时，教师需要对课堂教学现象进行推理，检验教学目标实现情况，分析问题所在，进而采取有针对性的教学决策，因而推理、检验也是数学课堂诊断性教学的基本特征.

二、数学课堂诊断性教学的类型

评价教学效果的好坏，关键不在于教师教了多少，而在于学生真正学了多少.从“学习者中心观”“知识中心观”等视角出发，根据学生数学学习的认知活动与知识结构，可将数学课堂诊断性教学分为知识理解的诊断、策略运用的诊断和自我监控的诊断.

（一）知识理解的诊断

学生对数学知识的理解与表征是数学教学的基本要求.数学知识结构既包括数学概念、公理、定理、法则等基本知识，也包括不同知识之间的联系与交融.数学学习的过程，实质上是在特定的学习情境中，在教师主导下，学生主体对数学知识的认知过程[3].数学课堂诊断性教学中对知识理解的诊断，要求教师从学生的课堂表现中判断其对相关知识的掌握情况，不仅是对事实性知识的识记，还包括对数学知识结构的理解，尤其要关注学生的前概念对现有知识学习的负迁移作用，发现学生的错误观念.在发现学生认知偏差并分析原因后，数学教师应及时给予学生有效的反馈，灵活调整教学决策.

（二）策略运用的诊断

学生在解决问题的过程中对数学思想方法等策略的运用，往往比对基础知识的识记更有价值.国际科学教育委员会和国际数学教育委员会的联合研究成果指出：“在内容的选择中，人们必须想到的不仅是希望学生获得的知识，而且要想到跟哪些题目结合在一起的思想方法.”我国教育古训也道“授人以鱼，不如授人以渔”.鉴于此，数学教师在实施课堂诊断性教学时还需关注学生面对具体问题时，能否选取合适的数学思想方法，灵活运用有效的策略来解决问题.换言之，数学教师不能只关注学生解题的结果，还要诊断学生在发现、提出、分析、解决问题的过程中策略的运用，这也符合新课标重视过程评价的理念.

（三）自我监控的诊断

教师在数学教学活动中对学生进行诊断的同时，学生在数学学习过程中其实也在进行有意识的检验与反馈，调节、矫正与管理，亦即进行着自我监控，这是元认知过程的核心.数学学科的自我监控能力主要表现为对数学思维过程的监察、控制和反省的能力，本质上属于一种高层次数学思维能力.学生在解题过程中，是否准确知道自己正在做什么，是否明确这样做的原因，是否知道下一步要做什么，走了弯路时能否快速自我调节等，都是自我监控能力的体现.学生自我监控能力的发展、元认知策略水平的提高，不仅能促进其数学学习，而且对其他学科的学习以及学生的终身发展都大有裨益，因而在数学课堂诊断性教学中，教师对学生自我监控能力的诊断也尤为重要.

三、数学课堂诊断性教学的主要方式

传统中医诊断，有“望、闻、问、切”四种常用手段；类似地，数学课堂诊断性教学也有细致观察、耐心倾听、合理提问、讲练结合等主要方式.

（一）细致观察

课堂观察指教师有目的、有计划地观察学生在数学课堂中的外在表现，并推测其内在心理反应，從而快速获得有关学生最丰富的第一手资料.在数学课堂诊断性教学中，教师需要积极关注学生的反馈，从学生的表情、动作等无声语言中都可推测其对教学内容的接受程度.如果学生接受良好、理解迅速，教师可以考虑适当加深难度，或者加快进度；而如果多数学生流露出迷茫的表情、精神不集中，这就说明教师的教学行为没能引起学生的共鸣，即数学知识结构并未转化为学生的认知结构.这时教师可采取决策进一步诊断学生的学习情况，用适合学生的方式巩固之前所学内容，加深理解.

（二）耐心倾听

讲授法是使用极为普遍的传统数学教学方法，以教师口头讲授为主.其实，即使是使用发现法、合作学习法等教学方法，课堂中教师“说”的重要性都毋庸置疑，但另一方面教师的“听”也不可忽视.就像医生诊断时需要聆听病人陈述病情，教师教学也需要耐心倾听学生的想法.为了更好地在数学课堂中实施诊断性教学，教师应当给学生足够的时间、空间去表达自己的想法，包括请学生上黑板解题并讲解给大家听，或者利用投影仪展示学生的做法，而不是操之过急地向学生灌输标准思路.在如下教学片段[4]中，授课教师就很好地做到耐心倾听学生回答，并进行有针对性的引导.

师：“请同学们回忆一下，根据以往研究函数的经验，通常是用什么方法来认识一个函数的？”

生：“定义域、值域、对应法则、单调性、周期性等.”

师：“你谈到的都是函数的性质，那么我们还研究什么呢？”

生：“函数的图象.”

师：“为什么呢？”

生：“因为函数的图象比较直观，通过画出函数的图象就能得到它的性质了.”

师：“同学们都同意吗？”大部分学生表示同意.

教师问学生用什么方法来研究函数，学生却回答了函数的性质，有些答非所问，也超出预设，但是教师并未生硬地打断学生的回答，而是耐心倾听，并根据其回答进一步启发学生思考，引导学生自己生成要研究函数图象的想法.其实，学生在数学课堂上出现的偏差，是诊断其学习中存在的问题的重要依据，教师应善于根据课堂实际情况调整教学，而不是非要听到“标准答案”.通过耐心倾听，教师可以清晰地了解学生的真实想法，进行更有针对性的诊断性教学.

（三）合理提问

教师提问是数学课堂中师生互动的常见方式.通过合理提问，尤其是对学生回答进行的恰当追问，可以获得很多有效信息，有助于诊断性教学的实施.教师判断学生的回答是否正确是最基本的要求，更重要的是对学生的思维过程进行诊断.数学是思维的科学，发展学生的数学思维能力是中小学数学教学的重要任务[5].“你是怎么想到的？”“为什么要这么做？”“你是如何理解这个概念的？”等类似问题层层深入的追问，有利于展现学生的思维过程，更好地对学生进行过程性评价，也有助于教师分析现象背后的原因，进行更深层次的诊断性教学.

高中数学“三角函数的周期性”这一节内容的教学中，教师引导学生说出函数[y=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数]，[且A≠0， ω>0）]的周期为[T=2πω]后，进行了如下的合理提问用于引导.

师：“如果将[ω>0]的条件换成[ω≠0]，函数的周期如何表示？”

生1：“给上式中[ω]加上绝对值，即[T=2πω].”

师：“为什么？”

生1：“因为周期是大于零的，所以[ω]要加上绝对值.”

师：“这个理由不对，逻辑是混乱的.还有同学有别的想法吗？”

生2：“将里面的负号提出来.”

师：“好，但用词不准确，规范的说法应该是用诱导公式变换一下.”

上述教学片段中，第一个学生虽然说出正确答案[T=2πω]，但并没有真正理解原因.教师通过合理地追问“为什么”，就能诊断出学生对这一问题的认识还不够准确，对因果关系的理解有些混乱.这位教师对于学生的回答，及时给出明确的反馈，指出学生逻辑上的错误，也很关注用词的规范等细节，是较成功地进行数学课堂诊断性教学的案例.

（四）讲练结合

解题活动是数学研究及数学学习的主要形式.著名数学家波利亚也曾表示：“中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练，不仅能解决一般的问题，而且能解决需要某种程度的独立思考、判断力、独创性和想象力的問题.”数学课堂中，教师单向的讲授往往难以取得很好的效果，学生也需要独立进行解题练习，这时教师可以进行课堂巡视，这也是实施诊断性教学的重要途径.教师巡视时，不仅要维持课堂秩序、观察学生是否完成练习，更重要的是要观察学生解决问题的过程，了解其思维活动，发现精彩的创新解法或有代表性的典型错误，诊断学生的优势与不足，并在此基础上实施下一步的数学教学.

另一方面，数学课堂中例题讲解、习题练习等解题活动的顺序、层次的安排，也极大地影响着教学效果的好坏.课堂上教师讲解与学生练习相结合，设置一些有诊断作用的当堂练习，能更好地反映学生对教师所教内容的理解程度，有利于教学目标的实现.

在高三应用题专题复习时，教师提前将学案发给学生，要求学生完成“课前练习”和“典型例题”两部分.教师课前批改学生的学案，在课堂上以学生的解答为基础进行点评，指出共性问题，提醒学生关注函数模型的选取、求解等关键问题.

这也是在诊断学生存在的问题的基础上进行课堂教学，但还有改进的空间.教师这样安排，会导致学生在“课前练习”中存在的问题，在“典型例题”中还是会出现，不能很好地反馈学生课堂学习的效果.教师可以考虑对学生“课前练习”进行点评后，让学生在课堂上完成“典型例题”，这样的解题活动安排更有层次性，也能更好地对课堂生成资源进行诊断.

参考文献：

[1]宁连华.数学探究学习与教学论[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2015：32，81.

[2]舒尔曼.实践智慧：论教学、学习与学会教学[M].王艳玲，王凯，毛齐明，等译.上海：华东师范大学出版社，2014：161-165.

[3]程晓亮，刘影.数学教学论[M].北京：北京大学出版社，2013：118.

[4]于洋，刘明.以问题引领课堂 以探究发展思维——“函数[y=Asin（ωx+φ）]的图象”的教学剖析[J].数学之友，2017（20）：19-24.

[5]宁连华，涂荣豹.我国基础数学教育的继承与发展[J].数学教育学报，2012，21（6）：6-9.