基于反对称化分子动力学模型模拟中能重离子碰撞核反应过程

杨 昆

（1.兴义民族师范学院， 贵州 兴义 562400 2.贵州省人工智能与医学诊断重点实验室， 贵州 兴义 562400）

1 引言

追踪重建重离子碰撞的整个动力学演化过程的方法，这种方法称为输运理论（Transport Theory）。中能重离子反应的反应机制非常复杂，模拟中能重离子碰撞的动力学演化过程本质上是处理一个在强相互作用和库仑场下的有限量子多体体系的动力学过程，发展这种输运理论有助于理解同位旋自由度和相关的物理量——同位旋矢量势、核介质内同位旋相关的核-核（NN）截面和泡利阻塞等。量子多体体系的演化是一个十分复杂的过程，尤其是在费米能区重离子碰撞处于两体碰撞占主导的高能重离子碰撞和以平均场耗散和泡利阻塞效应占主导的低能重离子碰撞的过渡区域。任何想要描述中能重离子碰撞的理论模型都必须同时考虑到两体碰撞、平均场和泡利不相容原理的作用，解决起来比较困难。

在过去的二十年里，中能重离子核反应半经典微观输运模型的发展取得了重要的进展。这些半经典微观输运模型主要有两类，Boltzmann-Uehling-Ulenbeck（BUU/VUU）模型[1]以及量子分子动力学（QMD）模型。[2-4]

BUU模型的理论基础可追溯到描写稀薄气体粒子相空间分布函数随时间演化的Boltzmann积分微分方程，[5]后来由 Nordheim、[6]Vehling和Uhlenbeck[7]等人在考虑量子效应后对碰撞项做出了修正，还有一个修正来自于Vlasov[8]提出的漂移项。BUU模型综合考虑了碰撞项和平均场效应，通过数值求解BUU方程模拟核-核碰撞的时空演化。然而，BUU模型丢失了核子间的关联和涨落，无法研究多体可观测量，特别是无法处理中能重离子碰撞中十分重要的多重碎裂现象和团簇的形成。

由于BUU在计算多体观察量时存在着上述困难，人们基于经典分子动力学（CMD）方法，通过考虑了测不准原理和泡利阻塞原理而发展了能够处理碎片形成问题的量子分子动力学（QMD）模型，每一个核子不再被看作点粒子，而是采用坐标和动量空间中具有有限宽度的高斯波包来描述。QMD模拟计算每次碰撞事件中N每个核子的运动轨迹，观察的物理量则按事件进行统计平均，从而保留了部分涨落和多体效应。

近年来QMD模型又有了很大的发展，比如考虑了核子反对称化而发展的反对称化分子动力学模型（AMD）。[9]AMD类似于QMD模型。在分子动力学模型中核子的空间波函数采用高斯波包描述，复杂的量子多体体系采用相空间分布函数方法处理得到系统的密度和动量分布，计算核子位置和动量的波包中心服从的正则方程模拟反应系统的动力学演化过程。AMD模型与传统的QMD模型相比，最根本的区别在于对描述每个核子的高斯波包进行了反对称化的处理，本质上引入了Pauli不相容原理，从而避免由于人为检查碰撞事件的Pauli阻塞而引入的误差。另外，通过考虑波包的弥散（Diffuse）和收缩（Shrink）效应[10]而引入了块之间的关联，使得AMD/DS给出的重碎片多重性的分布更加合理，更有利于描述多重碎裂过程。

2 AMD模型

发展AMD模型最初的想法来自于完全反对称化描述所有描述核子的高斯波包，这样便能自然地处理Pauli不相容原理。波包质心随时间的演化可以从时间相关的变分原理导出，中能重离子碰撞的动力学过程就是量子多体系统随时间 的演化过程。反应道的量子分支则由动力学系统的随机性加以处理。在AMD中不仅考虑了核子-核子碰撞效应，还考虑了平均场中单粒子波函数的波包分裂。下面对AMD模型进行简要描述，具体细节请参阅文献。[9]

在AMD中，A-核子系统的波函数由包A个高斯波包的Slater行列式描述：

由于AMD中波函数反对称化，波包矩心不再具有物理坐标的意义。即使相同自旋和同位旋的两个波包在相空间中非常接近，也不能说它们表示的两个核子在相空间中占据同一位置，因为核子必须自动地遵从Pauli不相容原理。只有矩心采用了物理坐标时，用高斯波包来描述核子才近似有效。在t=t0时刻具有真实物理坐标ri和动量pi的第i个核子在相空间中的密度分布可表示为：

总单体分布函数便为所有的fi求和。由相空间中密度分布函数可以得到系统的密度分布及其动量分布。

3 中能重离子碰撞核反应过程模拟

AMD常被用于模拟中能重离子反应动力学过程。应用AMD理论计算的许多观察量，如轻粒子和中等质量碎片的多重性、能谱和角分布等，都与实验符合得很好[14-18]。AMD模拟重离子核反应动力学步骤包括初始化弹核、靶核和核子-核子的演化，根据AMD演化结果提取的每个核子的相空间分布。

3.1 AMD初始化

AMD理论模拟的第一步是初始化弹核和靶核。首先利用Skyrme-Hartree-Fock方法给出弹核与靶核的核子密度分布，利用Monta Caro随机抽样方法分别抽样得到弹核与靶核的核子空间坐标，并通过4π空间立体角抽样核子坐标的方向。然后基于抽样得到的原子核密度分布，由费米气体模型计算得到费米动量kF，利用Monta Caro方法从[0,kF]进行随机均匀抽样便得到核子动量的模，核子动量方向亦由4π空间立体角均匀抽样。最后通过摩擦冷却AMD波函数演化到的方法2000fm/c获得每一时刻核子的状态。摩擦冷却波函数后得到的核子状态经Lorentz变化转换到实验室系后，可得到由核子及其坐标、动量和自旋为内容的初始核子表。

采用摩擦冷却方法，对弹核64Ni和靶核112Sn分别进行初始化。初始化后需要检查演化得到的初始核的真实性和稳定性。基态初始核的真实性一般是通过比较理论计算与实验测量的结合能和电荷半径等加以证实，而稳定性则是观察原子核内核子的相空间分布并结合电荷半径、平均结合能等随时间的演化加以检验。下面以靶核112Sn为例加以说明。

初始核112Sn的结合能和均方根电荷半径随时间的演化如图1所示。左图所示的比结合能在200fm/c时刻后便不再剧烈变化，保持在8.3MeV/A左右，并与实验测量值8.51367MeV/A[19]相近。右图所示的均方根电荷半径在100fm/c时刻后也没有明显的变化，保持在4.5fm左右，与实验测量值4.5943±0.0018fm[20]非常接近。可见AMD采用的摩擦冷却方法演化得到的初始核基态的性质（结合能和均方根电荷半径）与实验测量值符合很好，且在0-2000fm/c宽时间尺度内均没有明显的变化，说明该初始化原子核稳定，可以作为中能核-核碰撞的靶核甚至是低能时形成复合核的初始核。研究发现，初始化核质量数越大，其结合能和均方根电荷半径随时间的涨落越小，这反映了越大的原子核其平均场效应越强。

图1 AMD理论演化的初始核112Sn的比结合能和均方根电荷半径随时间的演化

初始化后还需要编写程序检查初始化原子核的相空间分布，图2给出了90fm/c时刻112Sn原子核坐标空间中核子的分布。从图中可以看出，所有核子都很稳定地结合在一起，也没有粒子蒸发和大块团簇产生，分布比较合理。

图2 坐标空间中112Sn原子核的核子分布

综合考虑原子核比结合能和均方根电荷半径，本研究将其与实验数据很接近且粒子相空间分布比较合理的6个原子核作为初始核，在一定程度上比选取一个原子核作为初始核包含进了更多的涨落。当然，在弹核和靶核形成初始系统时，它们内部核子在碰撞初态时的方向是随机选取的。即使是相同的初始状态，由于量子力学的概率本质，核子-核子碰撞具有随机性，因而系统演化的终态亦不相同。

3.2 AMD动力学演化

在构建系统动力学演化初始状态的时候，因为考虑到弹核和靶核之间的库仑相互作用，会根据碰撞参数和入射靶核的能量而把两个近似基态的碰撞核放在一定远的地方，如相距15fm处。碰撞参数范围包括0-12fm，基本上涵盖了从中心碰撞到外围周边碰撞的所有核反应类型。

AMD采用时间步长法模拟中能重离子核-核碰撞，始终逐个地对每一个核子进行演化和跟踪。在步长为的时间内所有的核子在相互作用势下按照各自一定的轨迹运动，结束时则按照一定的演化规律进行动力学演化，反复执行该过程直至动力学过程结束。本研究模拟了40AMeV64Zn+112Sn系统。采用了标准的Gogny相互作用。AMD计算考虑了库仑相互作用的影响。波包宽度选取V=0.16fm-2。通过AMD计算后，得到了每一次核反应事件中每一步长内所有核子的位置、空间立体角、动量、能量和自旋构成的粒子表。根据粒子表，可以编写程序构造成碎片。

AMD演化结果如图3所示，这是一次典型的碰撞事件，展示了系统密度随时间的演化。其中第一行为炮弹核和靶核的核子密度投影到反应平面上随时间的演化图，而第二、三行分别是投影到反应平面的质子和中子密度随时间的演化图。随着反应的进行，炮弹核和靶核相互穿透，在t～50fm/c反应时刻完全重叠，之后系统开始膨胀并经历多重碎裂过程。这里的多重碎裂与统计多重碎裂的描述有些不同，统计多重碎裂中系统膨胀和碎片形成均处于较低的Freeze-out密度。AMD模拟中大约在80fm/c左右发射核子。

图3 40AMeV 64Zn+112Sn反应系统的密度投影到反应平面（x-z平面，z是束流方向）上随时间的演化。反应时间从0fm/c到200fm/c，弹核和靶核相距15fm的时刻作为时间零点。第一行是炮弹核和靶核的密度，第二、三行分别是中子和质子的密度。等高线的标度为线性的，最小的独立的圈代表核子。本次反应的碰撞参数为3.97fm，观察的区域大小为10fm×10fm。

从图3模拟结果可以看出，中能重离子碰撞的物理图像可用火球模型来表征。其中炮弹和靶核重叠区域的核子经历激烈的核子-核子相互作用，称为中速（NN）源。而重叠部分以外的核子不再经历激烈的相互作用，这部分称为类弹（PLF）源和类靶（TLF）源。NN源部分的演化是十分复杂的。在动力学演化早期，其被压缩形成热致密 核系统，核子-核子发生硬碰撞。在动力学演化后期，高温高密的复合核将膨胀到极低密度，并经由多重碎裂过程分解，形成碎片或团簇。经历碰撞后的PLF源仅受到较小的扰动，并以接近0.9倍炮弹的速度出射。它仍然是冷的，以至于能产生相当大的碎片。从N/Z比值来看，PLF的比值和炮弹的比值相近，因而可用于产生丰中子源。TLF源同样也是冷的，碰撞后的速度约为0.1倍炮弹速度。PLF和TLF均是受激发的源，激发能可能来源于附加的表面能以及进入它们的少数核子的动能，这个能量并不按体积均匀分布，所以它们只能分裂为一个或几个重碎片和若干核子。三个源（NN、PLF、TLF源）的性质都具有强的碰撞参数依赖性，小碰撞参数表示碰撞程度激烈，而对于大碰撞参数碰撞程度则缓和一些。

4 结果讨论

反对称化分子动力学（AMD）模型采用反对称化的高斯波包来描述核子，可以自然地引入Pauli不相容原理，求解量子多体系统随时间的演化可用于模拟中能重离子动力学过程。本研究采用随机摩擦冷却方式演化获得64Zn弹核和112Sn靶核的基态原子核分布，其结合能和均方根电荷半径与实验值保持一致。并对40AMeV64Zn+112Sn系统动力学过程进去模拟，获得演化过程系统的密度分布，观察到了演化中NN、TLF、PLF三个源的动力学过程。结果显示，AMD模型可以较好地重现中能重离子核反应动力学过程，可应用于核物质对称能、液气相变等前沿可以研究。