探究柯西不等式在数学竞赛的重要性

代红军 孔德宏

（云南师范大学 云南昆明 650500）

一、柯西不等式内容

二、柯西不等式的二次函数证法

所以把上列n个不等式相加得

当b1=b2=… =bn=0时，已经研究。

∴f(x)是关于x的一元二次函数，∴f(x)=0方程判别式△≤0

下面研究（1）式取等号的情形

若（1）式取等号，则△=0，于是由（3）知方程f(x)=0有两个相等的实数根，即x=k,代入（2）得

所以从两方面证明了柯西不等式，在高考和数学竞赛中，柯西不等式主要解决最值问题、取得最值时满足的条件及推到其他重要的不等式。

柯西不等式应用特点：①构造两组数，即两组数对应乘积的完全平方不大于这两组数平方和之积，由于这点柯西不等式的地位就凸显出来了，可以培养和考察学生的创造性思维，与新课程标准相适应，所以柯西不等式依然在高中教材中以向量的方式出现。②从柯西不等式的二次函数证法发现，其实在初中阶段，可以有意识地讲解柯西不等式的内容，学生也能接受。所以全国初中数学联赛与全国高中数学联赛都在考查柯西不等式，柯西不等式可以拓展初中的知识视野。

三、柯西不等式的运用

证法一：（常用证法）

把上面n个不等式相加，得

证法二：（柯西不等式证法）

分析要证明的不等式左边，不难发现需要构造两组数；构造怎样的两组数？从已知条件和要证明不等式右边已经暗示，需要构造：

由柯西不等式（1）有

小结：对照两种证法，不难发现证法二，思考简洁，善于入手；证法一需要分析不等式的内部结构，不容易寻找。

分析：上不等式可写为

构造如下两组数：

由柯西不等式（A），有

怎样证明上一不等式呢？

因为a1，a2，……an是不相同的正整数，实数集是有序集，所以设a1，a2，……an，是从小到大排列的正整数，于是有

利用同方向的不等式具有可加性，有

根据放缩法

下面作出证明，由均值不等式

(a3+b3+b3)+ (a3+c3+c3)≥3a(b2+c2)，

即2(a3+b3+c3)≥3a(b2+c2)，稍加整理即为①式，证毕，回到原题。

由柯西不等式

(ak+1+bk+1+ck+1) (ak−1+bk−1+ck−1)≥(ak+bk+ck)2

故②得证，故原不等式成立。

四、结论

柯西不等式的特点主要涉及两组数，作用在于证明常用不等式，关键在于能否构造出需要的两组数，应用范围广，涉及高考题、竞赛题和高等数学等，是出题人所青睐的对象。