学科核心素养视角下的数学概念教学案例与启发

摘 要：本文以《函数的奇偶性》的教学为例，探讨高中数学概念教学中落实数学核心素养培养的做法.认为促进学科核心素养落地可从以下四个方面入手：创设情境，注重概念的引入，在问题情境中培养学生的核心素养；深入探究，注重概念的抽象，在探究构建中培养学生的核心素养；策略得当，注重概念的生成，在概念的生成中培养学生的核心素养；学以致用，注重概念的升华，在概念的运用中培养学生的核心素养.

关键词：函数的奇偶性；核心素养；概念教学；教学启发

作者简介：彭永婷（1983- ），女，福建厦门人，本科，中学二级教师，研究方向：中学数学教学研究.

一、核心素养视角下的概念教学

数学概念作为一种判断与推理的思维方式，以定理、法则、公式等方式呈现概念.它反映了人脑对现实的数量关系和空间形式的本质特征.灵活运用数学概念，不仅有利于掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力，也可以培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养.数学概念教学是引导学生体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学的眼光看待和认识世界的思想真谛的重要载体[1].

从概念、原理的教学层面看，促进数学核心素养的落地可从以下多维视角入手.具体如下：创设问题情境、依托核心概念、核心知识；提出核心问题、研究核心问题、形成核心概念或核心知识；理解数学思想方法、训练数学基本能力.在课堂教学中落实数学核心素养要贯穿情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思的全过程.以《函数的奇偶性》的教学为例梳理核心素养视角下的概念教学的案例设计和教学启发，以期为新课标背景下概念教学的课堂实施提供参考.

二、教学案例实施——以《函数的奇偶性》的教学为例

人教A版必修一《奇偶性》属于概念课.涉及“函数奇偶性的概念” “奇偶性的判断与简单应用”等核心内容.围绕“概念”这一主题，集中体现数学抽象和逻辑推理两大核心素养.本节内容运用数学基本推理方法——归纳推理，在归纳推理的基础上形成数学抽象得到函数的奇偶性.基于培养学生核心素养，本节课的关键是通过学习奇偶性初步学习归纳推理常见的思维步骤：特殊——一般——证明，并运用归纳推理进一步对数学知识和结论进行探究.奇偶性是函数三种基本性质之一，是函数单调性教学的延续.从数学结构化框架角度看，概念教学需保持其“延续”性，让学生体会从生活到几何直观，再从几何直观到数学符号语言精确定义的整个过程.

活动一 创设情境，引入概念

问题情境：美丽的蝴蝶、盛开的鲜花和中国的古建筑都具有对称的美.诸如此类“对称美”的例子在数学学科教学中不胜枚举.让我们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习.

设计意图：在上课的当天，笔者特地穿了一件有两只漂亮蝴蝶的衣服，一下吸引了学生的眼球.从学生感兴趣的东西出发，既活跃了课堂气氛，拉近了师生距离又连接了生活与数学，让学生体会到数学是源于生活的.

活动二 深入探究，生成概念

探究1 偶函数的概念

问题1 观察下列函数图象（图1、图2、图3），归纳共同特征.

問题2 关于y轴对称的点的坐标有什么特点？

问题3 怎样说明函数f（x）=x2的图象关于y轴对称？

问题4 若函数y=f（x）的图象关于y轴对称，则此函数是偶函数.如何利用函数解析式描述偶函数？

问题5 通过前面的探究，你能得出偶函数的图象有怎样的对称性吗？

设计意图 以问题引导，带着学生从发现生活中的对称美，过渡到发现数学中的对称美，围绕偶函数的概念，不断设问、不断变式，把对称这一概念从直观过渡到准确的几何描述，实现学生从“图形语言”到“文字语言”到“符号语言”认识函数的奇偶性，实现“形”到“数”的转换.呈现完整的偶函数概念的形成过程，让学生对概念形成程序步骤化，让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般、从定量到定性的数学研究方法，发展自身的直观想象、数学抽象等数学核心素养.

例1 下列函数哪些是偶函数？

（1）f（x）=x2；

（2）f（x）=x2，x∈[-1，3]；

（3）f（x）=x3-x2x-1；

（4）f（x）=1.

小结

（1）偶函数的定义；

（2）偶函数定义域具有的特征：关于原点对称；

（3）偶函数的图象关于y轴对称；

（4）判断偶函数的方法：①图象法；②定义法.

设计意图 通过具体问题的分析、解决，提升对偶函数概念的理解与运用.在判断奇偶性问题中，学生最容易忽略的是定义域关于原点对称这个前提，故设置了例1的第（2）、（3）题.通过对学生误解的分析，强调概念的易错点和关键点，从而进一步加深学生对奇偶性概念的理解.题后的反思小结，旨在养成学生良好的数学学习习惯，学有所思，思有所得.

探究2 奇函数的概念

问题1 观察函数f（x）=x和f（x）=1x的图象（图4、图5），归纳两个图象的共同特征.

问题2 类比偶函数图象的对称性，探究奇函数图象的对称性.

例2 试判断函数f（x）=x3-2x是奇函数吗？

小结

（1）奇函数的定义；

（2）奇函数定义域具有的特征：关于原点对称；

（3）奇函数的图象关于原点对称；

（4）判断奇函数的方法：①图象法；②定义法；

（5）如果函数f（x）是奇函数或偶函数，那么我们就说该函数具有奇偶性.

设计意图 让学生类比偶函数概念的形成过程，自己动手探索奇函数概念.数学思维有时就产生于模仿，特别是以思维步骤形成呈现的数学思维，所以大胆留时间给学生动手模仿数学知识的整个形成过程，通过不断的重现知识形成数学思维.但模仿只是开始，大胆鼓励学生利用已掌握的数学基本思想去提出问题、分析问题、解决问题，通过探究未知的数学问题，形成数学核心素养.

问题3 辨析体会定义.

观察下列函数图像（图6、图7），这两个函数具有奇偶性吗？

例3 判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=-3x2+1；

（2）f（x）=x（x+1）；

（3）f（x）=0；

（4）f（x）=x；

（5）f（x）=x+1，x>0，1，x=0，-x+1，x<0

小結 判断函数奇偶性的方法步骤

（1）用定义法判断函数奇偶性的步骤；

（2）对于一个函数来说，它的奇偶性有4种可能.

设计意图 在得出函数的奇偶性定义之后，通过具体问题分析、解决提升对奇偶性概念的理解和运用；另外通过对学生错解进行分析处理，强调关键点和易错点，从另一角度加深对奇偶性概念的理解.

活动三 学以致用，升华概念

训练1 若函数f（x）为奇函数，且f（2）=3，则f（-2）=；若函数f（x）为偶函数，且f（-1）=3，则f（1）=.

训练2 根据下面函数的奇偶性，补充完整函数图像（图8、图9）：

（1）f（x）为奇函数，定义域是（-1，1）；

（2）f（x）为偶函数，定义域是R.

训练3 如图10，给出了奇函数y=f（x）的局部图象，则f（-4）=.

收获与体会 从知识和方法层面梳理本节课的收获.

设计意图 在教学过程中围绕特殊到一般这一推理主线，从浅到深，从体会到应用，培养学生逻辑推理和数学抽象两大核心素养.培养学生勇于探究精神，当堂检测为模仿—探究教学画上句号.教学中除了知识和技能的传授，不忘穿插学法指导（反思整理）.

三、核心素养视角下的概念教学的思考

有学者认为数学教学活动应当：把握数学内容的本质；创设合适的教学情境，提出合理的问题；启发学生独立思考，鼓励学生与他人交流；让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的本质；让学生积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养[2].数学概念教学再现了数学家的创造过程.我们要择其要领，创设有利于发展学生核心素养的教学情境，将数学家的发现过程还原给学生，追寻数学发展的历史足迹，启发学生探究，体会其中蕴含的数学思想，教会学生“数学地思考”，引导学生把握数学概念的本质.数学核心素养视角下的概念教学可从以下四个方面入手：

1创设情境，注重概念的引入，在问题情境中培养学生的核心素养

从无到有，学生必须有一个契合处，以缓解新概念对思维产生的“碰撞”.要使新概念变为学生自己的知识，必须建立新概念和学生已有认知的联系.在概念和模型教学中，应根据学生的生活、学习经验，创设真实有趣的问题情境.引导学生自己去建构概念，提炼模型，发现计算法[3].概念教学中，要变抽象枯燥的概念为生动有趣，要想方设法借助学生熟悉的生活经验，从创设生动合理的问题情境入手.例如，在《函数的奇偶性》的教学中可从学生所熟悉的生活中具有对称性图形（蝴蝶、花朵甚至汽车标志等）引入，学生熟悉而且能让学生获得直观感知.

2深入探究，注重概念的抽象，在探究构建中培养学生的核心素养

对数学概念的理解需经历从特殊（具体函数）到一般（抽象函数）、从具体（运算）到

抽象（概括）的思维过程，经由直观分析到演绎证明、从自然语言到符号表示.数学研究是一条从感性走向理性、从粗糙走向精细的发展之路.因而，在概念教学过程中，我们不只要让学生经历概念的形成过程，更要注重概念的定性把握、定量刻画、抽象概括、准确表达，进而形成精确的数学概念.例如，在探究函数奇偶性概念时，可从学生熟悉的一次函数、二次函数等具体函数的图象入手，以问题引导，带着学生从生活中的对称美，过渡到数学图象中的对称美，围绕偶函数的概念，不断设问、不断变式，把对称这一概念从直观过渡到准确的几何描述，实现学生从“图形语言”到“文字语言”到“符号语言”认识函数的奇偶性，实现“形”到“数”的转换.呈现完整的偶函数概念的形成过程，既让学生对概念形成程序步骤化，又让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般、从定量到定性的数学研究方法，并在研究的过程中不断发展自身的直观想象、数学抽象等数学核心素养.

3策略得当，注重概念的生成，在概念的生成中培养学生的核心素养

在探究过程中教师不能越位，为了更好地帮助学生理解概念，为更好体现和培养学生数学核心素养，教师可采取适当的教学策略，如“问题—引导”教学策略.对教材进行适当的加工和增减，围绕概念、问题（例题）不断设问、不断变式，引导学生从归纳推理、概念识别两个大方向去理解认识概念，有利于突破教学难点.亦可采用“模仿—探究”教学策略.数学思维有时产生于模仿，特别是以思维步骤形成呈现的数学思维，大胆留时间让学生动手模仿数学知识的整个形成过程，通过不断的重现知识形成达到形成与训练数学思维.例如，在老师的引导下，研究了偶函数的概念之后，奇函数概念的生成与偶函数完全一致，可以放手让学生自主探究.

4学以致用，注重概念的升华，在概念的运用中培养学生的核心素养

数学概念的教学不能只靠记忆，背会数学定义并不等于掌握了数学概念，更重要的是理解与感悟.让学生在教师的教学过程中理性理解数学概念的本质，只有将所学的概念，运用到具体问题中，才能使概念得以巩固提升，进而提高学生对数学概念的运用能力，提升数学思维，在概念的运用过程中发展学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养.例如，在探究函数奇偶性的概念之后，从奇偶性的代数定义和图象性质加以综合解题.同时，逆向应用给出函数部分图象，画出定义域内的完整图象.理性理解概念，有效解决问题，在概念的综合运用中培养学生的核心素养.

参考文献：

[1]许兴震定位教学目标，实现数学育人——以一节“函数的单调性”的教学为例[J].中国数学教育，2015（3）：2-4.

[2]史宁中学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理，2017（1）：35-37.

[3]洪晓鸽高中数学概率新旧教材比较及教学研究[D]. 苏州大学， 2010.