一道三角函数小题的多视角解法探究

摘 要：本文对一道解三角形填空题从三个不同的视角——化边为角、化角为边、运用重要恒等式展开探究，切入点分明，思路清晰.

关键词：三角函数；解法；多视角探究

作者简介：朱万江（1981-），男，江西信丰人，本科，中学高级教师，研究方向：高中数学教育教学.

一、试题呈现

題目 在锐角△ABC中，b2cosAcosC=accos2B，则B的取值范围是.

题目选自高三复习模考题，考查多个知识点，综合性较强，属于中档题此题的特征是找切入口容易，得出结果却比较难解题过程中的每一个环节都有难度，并且环环相扣，要求学生具有较强的综合知识运用能力.

二、解法探究

1化边为角

通过正弦定理，把条件等式中的边转化为对应角的正弦值，化简成关于某角正切值的一元二次方程，再利用判别式法来求解.

解法1 由正弦定理，得 sin2BcosAcosB=sinAsinCcos2B.

化简整理，得 tan2B=tanAtanC.

又因为tanC=-tan（A+B）=-tanA+tanB1-tanAtanB，

所以tan2B=-tanA·tanA+tanB1-tanAtanB.

化简整理，得

tan2A+（tanB-tan3B）tanA+tan2B=0.

把上式看成是关于tanA的一元二次方程，其中tanB为常数.

要使方程有意义，则必有Δ=（tanB-tan3B）2-4tan2B≥0.

化简整理，得 （tan2B-3）（tan2B+1）≥0.

解得 tanB≥3或tanB≤-3.

因为B为锐角，所以tanB≥3.

所以π3≤B<π2故B的取值范围是[π3，π2）.

2化角为边

通过余弦定理，把条件等式中角的余弦值转化为对应的边的关系式，然后整体代换到所求角的余弦定理中，最后利用基本不等式来求解.

解法2 由余弦定理，得

b2·b2+c2-a22bc·a2+b2-c22ab=ac·（a2+c2-b22ac）2.

化简整理，得a4+c4-a2b2-b2c2=0.

即b2=a4+c4a2+c2.

又由余弦定理，得cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a4+c4a2+c22ac=aca2+c2.

由基本不等式知cosB=aca2+c2≤ac2ac=12 （当且仅当a=c时等号成立）.

因为B为锐角，所以π3≤B<π2.

3运用重要恒等式

通过三角射影定理，对等式进行整体代换，最后利用基本不等式来求解.

解法3 由三角射影定理知，

a=bcosC+ccosB，c=acosB+bcosA.

所以bcosC=a-CcosB，bcosA=c-acosB①

因为b2cosAcosC=accos2B，

所以（bcosA）·（bcosC）=accos2B ②

将①式代入②式可得

（c-acosB）·（a-ccosB）=accos2B.

化简整理得 cosB=aca2+c2.

因为a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时等号成立），

所以cosB=aca2+c2≤ac2ac=12.

因为B为锐角，所以π3≤B<π2.