小学数学中的合情推理

耿云芬

（云南省昆明市呈贡区第二小学 云南昆明 650500）

数学是讲求逻辑的，是思维性的科学。但从各种事实证明，数学的许多新发现、新发明是在猜想、证明之后产生的。而合情推理是猜想、证明的先导。我要与大家一起探讨的就是基于直觉思维基础上的合情推理。

一、合情推理及其相关内容

合情推理按字面理解就是合乎人的情理的推理，是直觉的反映。其主要特点是：推理依据的条件和结论之间的关系不一定具有逻辑性而仅仅依靠直觉。

数学中的合情推理是多种多样的，其中不完全归纳推理和类比推理是两种用途最广的特殊合情推理。①不完全归纳推理是根据考察一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理。②类比推理是通过对两个或两类不同的对象进行比较，找出它们的相似点，近似程度，然后，以此为根据，把其中某一对象的有关知识或结论推移到另一对象中去，这就是类比推理。

二、合情推理在小学数学学习中的意义

首先，是实施新课标的需要。《数学课程标准》中明确：归纳和类比是合情推理的主要形式，并指出：第一学段“初步学会选择有用的信息进行简单的归纳和类比”，第二学段“进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力”，第三学段“体会证明的必要性，发展初步的演绎推理能力”。其目的是有序地培养学生的推理能力，但小学阶段以发展学生初步的合情推理能力为主要目标。其次，是由小学生的年龄特征和认知特点决定的。鉴于小学生的年龄与认知特点，他们不可能通过严格标准的逻辑推理来发现和掌握数学规律和知识。因此，在教学中大量地采用合情推理的方法。

再次，是学生学习数学的过程要求。在数学学习的过程中，应给学生提供具有充分再创造的通道，以激励学生进行再创造的活动。把数学知识学习的过程展开、还原，让学生经历观察、比较、归纳、类比……即合情推理提出猜想，再验证出猜想正确或错误。

三、合情推理的两种基本形式及小学数学学习中的运用

1.不完全归纳法

从特殊到一般，从个别事物中概括出一般规律，一般使用不完全归纳法。

（1）归纳定律

两个数的和与一个数相乘，等于把这两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变。这就是乘法分配律。

（2）发现规律

归纳出：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外）商不变。

（3）抽象数量关系

如：一本书15元，3本书多少元？列式：15×3=45（元）

一个杯子8元，9个杯子多少元？列式：8×9=72（元）

……

归纳出：总价=单价×数量

（4）找到解题技巧，提高解决问题的能力

例如 计算小于1000的所有自然数的和

本题实际上是求 1+3+5+7+9+……+997+999的和

在自然数1～1000中奇偶数的个数各占一半，所以上面的算式共有500个奇数相加。

我们归纳发现：从1开始连续n个奇数的和恰好等于n2。

因此得到：1+3+5+7+9+……+997+999=5002

不完全归纳法可以帮助人们去发现真理，启发人们猜想，但结论具有或然性，这是不完全归纳法的两重性：可以得到伟大的发现。

不可否认的是：虽然不完全归纳法的结论具有或然性，但它是探究数学规律的重要方法。在教学中，尤其是在低年级教学中不完全归纳法有广泛的应用。要教给学生一些知识而又不想进行严格逻辑证明时，一般都采用不完全归纳法。

2.类比推理法

因为类比推理是允许在不知它们之间是否有必然联系的前提下进行的。因此，同样是运用类比推理得出的结论，有的可能是正确的，有的则可能是错误的。在教学中应强调经过类比的结论必须由实验检验，或用其它论证方法予以证明。

例如：在推到圆锥的体积公式时，由于学生已经具有圆柱的体积知识，教师先引导学生观察等底等高的圆柱和圆锥。再让学生猜想等底等高的圆柱和圆锥的体积有什么关系？学生通过观察、比较、归纳、类比……即合情推理提出猜想。于是老师引导学生通过实验来验证自己的猜想，最后得出结论：圆锥的体积等于等底等高的圆柱体积的三分之一。我们通过合情推理提出猜想，再通过实验验证得到结论，推到出圆锥的体积公式。掌握知识的过程符合小学生的年龄特征和认知规律。

新课程改革要求学生全面发展，不仅要掌握知识，还要会发现问题，解决问题。因此，在教学中，教师应有意识的培养学生合情推理的能力。使学生能够根据数学的直觉得到一些数学的发现，从而让学生品尝到一些成功的喜悦，提高他们对数学的学习热情和信心。这可以提高课堂教学质量，而且还可以培养学生的创新精神。