图形与几何：培育数学合情推理能力的有效载体

在小学数学教学中，培养学生的推理能力，尤其是合情推理能力是一项重要任务。在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，明确将合情推理作为培养目标，意在纠正过去的数学教学一贯只重严谨、逻辑性的做法。因为小学生自身的认知能力较弱，学习较强的逻辑性推理知识时不能内化知识，而是浮于表面的记忆。而合情推理是让学生“从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等思维方式猜测或推断出某些结果”，以这样的探索思路、发现结论的推理更契合学生思维发展的顺序和层次，更具合理性。反观当前的教学实践，学生的合情推理能力普遍缺失，而小学教材中的“图形与几何”知识板块，对培养学生合情推理能力有着独特的优势，数学教师可针对这一内容加强教学研究，以有效培养学生的合情推理能力。

一、学生数学合情推理能力的缺失

合情推理能力是小学数学的基本思维方式之一，应贯穿数学学习的整个过程。然而，当下的数学教学往往以功利性的成绩提升为目的，重结论灌输轻推理过程，学生好知识识记而恶思考反思，这使得学生的合情推理能力缺失。

（一）教师重结论灌输轻合情推理过程

在教学实践中，不少教师的教学存在重演绎推理、轻合情推理的状况。教师往往只满足于证明现成结论，不够重视引导学生经历探索结论、提出猜想的过程。也有部分教师虽明白合情推理在教学中的价值，但对合情推理的基本概念缺乏认知，缺少培养学生合情推理能力的教学方法，这影响了学生合情推理能力的培养。

（二）学生好识记知识而恶思考反思

在学习过程中，大多学生倾向于识记现成的结论，而不愿思考这个结论为何而来和如何得来。这种思维习惯多是由于功利性地追求成绩提升而导致的。例如：学生在幼儿园就知道并牢牢记住了1+1=2，他们在学习时只是将其作为一个概念性知识记住，而不涉及推理。到了小学，要从加法的本质上理解其中算理，学生就会思维定式，不知道如何思考。加之考试往往只检测结论，很少考查推理过程，也影响学生对合情推理能力的关注。思考推理的“多投入”和简易识记似乎是同样的产出，功利性地对比，学生往往选择简单机械的识记作为主要的学习方式。

二、“图形与几何”与数学合情推理的契合

学生的合情推理能力是系统发展而来的，需要靠平时的点滴学习来激活，数学教学承担着“激活”的职责，教师应重视培育学生的合情推理能力。而在小学数学教材中，“图形与几何”知识板块本身具有的空间特性和符号特点，对学生合情推理能力的培养有着独特的价值和优势。

（一）合情推理能力的内涵与特点

“推理”是思维的基本形式之一，是由一个或几个已知的判断（前提）推出新判断（结论）的过程，而“合情推理能力”则是一种根据周围环境和活动，找出其内在的逻辑关系，从而推理出符合逻辑结论的能力。

推理应“合情”。推理并不是一个独立于知识技能之外的活动，也不是一个单列的教学体系，而是蕴含于日常生活、融合在日常教学之中的。“合情”就是指它可用具体事例、渐进过程让学生去体验、感悟，让学生从中体悟“推理”的背景与前提，能够从整体上把握“理”。从学生的可接受性来看，相比演绎推理，学生更愿意接受观察、猜测、比较、不完全归纳等学习方式，更易接受“非严谨、可猜测”的合情式推理。

推理指向“理”。推理的“理”是一个推演整理的理性过程，还可以理解为一条线索，学生可以循着这条线索，逐渐推导出一个个结论。

（二）“图形与几何”知识板块对培养学生合情推理能力具有独特的优势

苏教版数学教材中的“图形与几何”知识板块在小学数学的学习过程中发挥着无可替代的作用。“图形与几何”所涉及的图形抽象、分类、公式推导等内容推理教学具有独特的优势，较典型的当属“图形的面积计算”这一知识点。从苏教版数学三下的“长方形和正方形面积计算”，五上的“平行四边形、三角形、梯形面积计算”，五下的“圆面积的计算”来看，这些公式的推导，教材都安排了丰富的活动，有层次地设计具有启发性的问题串，引导学生在直观操作、观察比较、分析相关数据的内在联系中，发现规律，从而推导出公式。每一个公式的推导都是一次完整的合情推理的过程，学生从中学得深刻、理解得透彻。

三、巧用“图形与几何”培养学生的合情推理能力

培养合情推理能力是一个由简到繁、从局部到整体的过程。在教学中，教师可以根据教材的编排意图和学生的现有水平，整合教材中“几何与图形”知识内容，合理设置不同的教学层次与目标，带领学生经历合情推理的过程，让学生逐渐了解和掌握合情推理的思考过程和推理形式，达到培养学生合情推理能力的目的。[1]

（一）基于年段差异，循序渐进有侧重

推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。因此，合情推理能力应基于学生年龄特点，在低、中、高年段循序渐进、差异化实施。

1.小学低年段：引导学生初步感受合情推理的过程。

低年段所涉及的推理，主要是一些“简单推理”，在“图形与几何”知识板块中，教师可以提供直观图形帮助学生有顺序、有条理地判断，让学生用自己的语言来描述推理过程，适时创造机会，让学生积累推理经验。

例如：在教学苏教版一下《认识图形》时，教师可以设计简单图形（如图1）并引入教学，之后再增加一组复杂图形（如图2），加大难度，由浅入深地增强学生对图形的感受，并从多个角度展开推理。（1）颜色推理：让学生用自己的语言描述，感受判断依据。（2）个数推理：根据规律判断个数，感受判断过程。（3）适当抽象：引导学生用类似“1，1，1，2，1，3……”的方式，逐渐感受“黑球总是1个”“白球逐渐增加”的规律。在低年段，学生的合情推理意识还处在启蒙阶段，教学时要注意给学生提供感受的机会，增加经验。

图1 简单图形

图2 复杂图形

2.小学中年段：指导学生学习合情推理的方法。

小学中年段学生的思维水平有了较大发展，因此本阶段的教学重心是指导学生学习体验合情推理的方法。教师可以从简单枚举推理开始，继而引导进行科学归纳推理，让学生在此过程中掌握推理方法。

例如：学习苏教版三下《长方形的周长与面积》一课后，教师可以在练习中设计应用型问题：用长40cm的细绳围一个边长为整厘米数的长方形，怎样才能使面积达到最大？问题解决可以沿着“独立思考—枚举比较—猜想—验证猜想—获得规律—推广应用”的思路来进行。学生先用枚举初步推测，再根据算式与结果的关系合情推理。经历数学推断的基本过程，让学生获得的结果具有扎实的事实基础，使这一推断过程成为学生今后独立探索的成功范例，产生深刻的教育印迹。

3.小学高年段：强化学生利用合情推理能力解决问题。

小学高年段是与中学衔接的关键学习期，教师应强化学生对合情推理的应用。教师可以指导学生充分运用生活经验、已有的数学知识以及推理方法独立推理、解决问题，使学生在这一过程中，逐步构成程序化的操作，形成以数学方法和数学思维解决问题的探索品质。

例如：在教学苏教版五下《圆的周长综合应用》一课后，教师出示不完整材料：“经过这座大桥，自行车约转了多少周？”

师：单凭问题，猜想已知条件是怎样的？

生：可能会是已知大桥长度和车轮直径。

师：解决这个问题，算式可能是什么呢？

生：我推测是大桥长度÷车轮周长。

师：如果用 2000÷（3.14×0.6）解决这个问题，你有什么推测？

生：我推测2000是桥长，0.6是车轮直径，整个算式是求车轮转的周数。

从问题出发引导学生逆向思考，让学生基于个人经验和知识进行合情推理，逐步明晰完整的情境，最后合情推理解决问题。相比教师常用的“例题讲解—获得方法—练习巩固”这一固定的“单行线教学”，本案例中所实践的“提出问题—合情推理—解决问题”这一“逆向结构”，使常见的“正向教学、反复操练”转变为“双向构建”，充分利用合情推理思维解决问题，提升高段学生的数学学习能力。

（二）基于类别特点，既有针对又有融合

合情推理能力包括不完全归纳和类比推理两种，在“图形与几何”教学中，我们既应遵循这两种推理的内在特点，又要基于学生发展和学习内容的特点，培养学生具有多种推理思维，学会融合与创新，不断提升和丰富自身的合情推理能力。

1.不完全归纳推理。

不完全归纳是根据“个别”推断“一般”的推理方式，以部分对象所具有的属性推断全部对象，这种推理方法有助于学生通过观察思考发现新规律。在教学中，教师要根据这一特点，引导学生多观察多思考，重视过程体验，同时要尽可能多而广地考察事物对象，做到“厚积”而“薄发”。

例如：在教学《长方形面积计算方法》时，教师可以设计实践活动展开教学，让学生在摆长方形、测量长方形面积和猜测长方形面积与什么有关的系列活动中知道公式的由来，体验不完全归纳的推理方法，进而抽象出数学结论。同时，针对不完全归纳推理的“不完全”性，教师可以引导学生搜集生活实例佐证公式，通过归纳总结抽象出计算方法。这样的“厚积薄发”是一种科学态度，也是应对不完全归纳结果或然性特点的重要策略。

2.类比推理。

类比推理是特殊到特殊的推理方法，是一种“由此及彼”的推断。类比推理时教师可引导学生“瞻前顾后”：遇到新问题，想想有可能与哪些“前知识”有关；学习新知识，联想可能会采用同样方法的“后知识”。

例如：教学苏教版六下《圆柱体积公式》的推导时，教师要全面了解它的“前知识”是五下的“圆面积的计算”和“长方体正方体的体积计算”，“后知识”是圆锥的体积计算，教学中应“瞻前顾后”，将旧知与新知建立联系。把圆柱体积推导上升到体系之中，不仅要整理平面图形面积推导系列和立体图形体积推导系列的共同特点，也要由此及彼，引发学生对其他数学问题的思考。

3.合情推理与演绎推理相融合。

演绎推理和合情推理各有特点，前者重在严谨思考、结论可靠性高，后者重在探索发现，但结论可靠性相对低，两者各有所长。在“图形与几何”知识板块的教学中，教师可以基于两种推理的不同内涵和学生年龄特点，取长补短，适切融合。

例如：在学习百分数知识后联系圆面积知识，设计综合习题，研究正方形与内接圆面积的关系。教师可以先引导学生在正方形内画一个最大的圆，研究圆面积与正方形面积的关系。学生发现，不同学生设计的正方形和圆大小都不同，但圆面积都占正方形的78.5%，是巧合吗？当学生思维陷入矛盾时，再引导学生进行数理证明。从前期简单枚举到后期严谨推理，让学生经历合情推理和演绎推理相融合的过程，进而获得完整认识。

通过培养合情推理能力有助于打开学生的数学思维，不断提高其数学学习能力。而小学数学教材中的“图形与几何”知识板块是一个有效的载体，教师可以借此有的放矢、有计划有层次地培养学生的合情推理能力。