不可思议的重组

刘金龙

数学不仅是加减乘除，其中更蕴藏着无穷的乐趣。瞧，大家在认真地玩着七巧板，重组出了各种各样的图案，车子、轮船、鱼儿……这些图案的面积都是相等的，因为同一个七巧板的面积是固定的。

不过，有些图形裁剪后重组却没法得到相等面积的图形。真是不可思议！

一块地毯，不见了

萝拉在小镇上开了一家裁缝店。没有人知道她从哪里来，但所有人都知道她有一双巧手，只要你能想到的东西，她都能做出来。有一天，一件奇怪的事情发生了……

“叮咚”，玛丽太太抱着地毯推开了裁缝店的门，她想请萝拉帮忙将地毯裁剪成几块。

萝拉铺开地毯，按照玛丽太太的要求将地毯进行了裁剪，分成了这样的5块：

“谢谢你，萝拉！你的手真巧！”玛丽太太满意地道谢。

可没过多久，玛丽太太抱着5块地毯返回来了。

“萝拉，不好了！不好了！我的地毯少了一块！”玛丽太太着急地说道。

萝拉和玛丽太太把那5块地毯重新一拼，果然出现了一个空洞。

盯着那个空洞，萝拉陷入了沉思：奇怪，明明是严格按照玛丽太太的要求裁剪的，怎么会凭空消失一块地毯呢？

玛丽太太更着急，自己是看着萝拉裁剪的，中途没有出任何差错，当时自己还很满意，可回到家却发现莫名其妙地少了一块。这是怎么回事呢？

会不会是裁剪时，萝拉不小心给裁掉了或者萝拉把那块地毯藏起来了？

不对，不对！玛丽太太是看着萝拉裁剪的，萝拉不可能裁掉或藏起来。并且玛丽太太的裁剪要求也不高，凭萝拉的手艺，她不可能失误。

萝拉和玛丽太太一起想啊想……突然，萝拉灵机一动，想到了一个办法：“玛丽太太，我们先按原样把地毯拼回去。”

于是，萝拉和玛丽太太将裁剪了的地毯按最初的位置组合回去。神奇的是，丢失的那块地毯回来了！

玛丽太太看着完整的地毯，惊呼道：“天哪，这太让人惊讶了！萝拉，你是我见过的最出色的裁缝！”

真相大白

事实上，地毯根本就没有丢失，那个空洞是我们在重组时人为制造出来的。仔细看，你会发现玛丽太太重组后的地毯并不是一个正方形。

我们可以假定小正方形的边长为a，那么最初的地毯边长为7a。因为△ADE和△ABC相似（内角都相等），所以两个三角形的对应边成比例，有=，已知AB=7a，AD=4a，BC=2a，从而求得DE=a，EF=a。这样一来，重组后地毯的高=a+2a=a≠7a。但由于只比原来长了a，肉眼很难看出来。也就是说，重组后的地毯其实是个长方形，减去原地毯面积= a×7a-7a×7a=a2，而这正是地毯上神秘“失踪”的那块。

把多余的“藏”起来

萝拉帮玛丽太太找回地毯后，萝拉有魔法的消息就传开了。大家纷纷慕名前來，请萝拉帮忙解决各种关于裁剪的难题。当然，其中也包括玛丽太太。这不，她抱着地毯又来了。不过，这块地毯是她新买的。她对家里的布置要求很高，买到的地毯不能让她满意，还好有萝拉可以帮她裁剪。

玛丽太太拿出地毯，说：“亲爱的萝拉，我想把这块边长为13分米的正方形地毯，改成21分米×8分米的长方形地毯。这样的话，就得裁掉1平方分米的地毯。可是我不知道要裁掉哪里的1平方分米，我想只有你能帮我了。”

萝拉接过地毯，仔细量了量后，便开始动手裁剪，只见她将地毯裁剪成了4块。

“这么简单？能行吗？”玛丽太太担心地问道。

“放心好了，我一定让您拿到您想要的地毯。”说完，萝拉将地毯进行了重组，得到了这样一块长方形地毯——

“天哪，你是如何做到的？简直太完美了！竟然将1平方分米大的一块地毯‘藏起来了。”玛丽太太惊讶极了。

这简直太不可思议了！魔术都没有这么精彩！从一个正方形变成一个长方形，一个是13×13=169（平方分米），一个是21×8=168（平方分米），萝拉究竟是如何将那1平方分米隐藏起来的？她真的有魔法？

噜噜，你别一惊一乍的。萝拉的手确实巧，但魔法嘛，肯定没有。

真相大白

经过一番仔细观察，终于真相大白了。原来重组的长方形地毯的对角线上有微小的重叠，而这个微小的重叠正是减少的隐藏部分。萝拉就是这样将玛丽太太的那1平方分米的地毯重叠在了长方形中，实现了完美的“隐藏”。你动手剪一剪、拼一拼，就能找到它了。

更有趣的是，4个长度数值5，8，13和21，是斐波那契数列里的4个连续项。这个重组说明了斐波那契数列的一个特性：数列当中任何一个数的平方都等于相邻两个数之积再加1或者减1，即tn2=tn-1×tn+1±1。其中，位于数列奇数位上的数（如2，5和13）的平方都比相邻两个数的乘积大1；相反，位于偶数位上的数（如3，8和21）的平方都比相邻两个数的乘积小1。知道这点，你就很容易预测一个特定的正方形变成长方形后，面积是增加了还是减少了一个平方面积单位。

多出一点儿的时候，是因为沿着重组的长方形的对角线处有一个菱形的小空隙；而少一点儿的时候，是因为沿着重组的长方形的对角线处有一个菱形的小重叠。