解题教学中存在的问题及应对策略——一道中考试题的考后思考

☉江苏省江阴市第一初级中学钟珍玖

一、原题呈现

如图1，四边形ABCD内接于圆心O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD的长.

图1

图2

二、学生答题失误

这是2018年无锡市中考数学卷第24题，本题满分8分，全市平均得分4.25分，从学生的答题情况来看，有以下几种失误：

失误1：思维定式误作圆的直径.学生答卷上有很多都是连接BD，虽然构造了一条直径，但是∠B被分成了两个角，cosB=这样一个重要的条件就不能使用了，这是典型的由思维定式形成的解题思维障碍，反映学生的思维缺乏灵活性，与教师平时的解题教学方法息息相关.

失误2：思维定式误作弦的垂线.这类考生有利用∠B的余弦的意识，进而构造直角三角形，同样受到思维定式的影响，过点O作弦BC的垂线，反向延长EO交AB于点F，连接DF（如图2），采用图形分割的方法来构图，此时需要证明四边形DFEC是矩形，证明难度较大，学生思维受阻.

失误3：三角函数概念记忆错误.学生还有一类非常可惜的答题错误，就是正确作出了辅助线，延长AD、BE交于点E，构造两个直角三角形，但是把正弦和余弦的定义记反了，在高强度、大思维量的数学考试中，凸显了数学基础的重要性.

三、解题教学中存在的问题

1.套用“模型”，引发思维定式

数学解题模型化教学，在初中数学课堂教学中很常见，对此也有很多的争论和研讨，不可否认，在数学学习（特别是几何图形问题学习）的初期，模型识别有积极的价值，特别是对于数学思维能力不强的同学，对解题能力的提高有一定的作用.但是笔者从长期的教学实践中发现，模型教学有很多的弊端，特别是容易形成思维定式，弱化对数学知识的理解，扼杀学生创新能力的发展，违背了数学思考“随意性”的原则，不利于学生数学素养的提高.平时在学校听课、外出培训学习，包括时下盛行的网络教研，套用“模型”解题比较流行，各种模型种类繁多，如将军饮马模型、手拉手模型、一线三等角模型等，甚至对于同一个问题深入挖掘，让学生记住很多的中间结论，在解题中套用，笔者认为这些做法值得商榷.如果对于同一个数学问题进行一般化或者特殊化，发现其中的规律和结论，这些做法值得提倡，是数学学习所必须的.上题中的失误1就是非常典型的模型强化形成的结果，我不止一次在听课时，见到很多老师总结了圆中作辅助线的口诀：看到直径想直角，看到直角连直径，在这种模型的多次刺激后，思维不够灵活的学生在连接BD把∠B破坏后就没有解决问题的办法了，这是答卷上出现失误的情形.

2.就题论题，缺乏思维深度参与

一线教师的解题教学，就题论题的现象非常普遍，数学解题教学演变成只要解出答案或者推理出结论就可以了，更有甚者，解题的过程都是教师包办的，没有学生的思维参与，更不用说思维的深度参与了，这对于培养思维能力的数学学科来说，无疑是致命的做法.数学学习离不开解题，所以解题教学的重要性是不言而喻的，解题教学要培养学生独立思考的能力，注重引导学生思考，特别是数学化的思考，要教会学生一般的思维方法如分析法、综合法、综合分析法等，也要教会学生数学独有的思考方法如数形结合、图形法等，除此之外，解题教学更要提倡学生用创新的思考方法，培养创新能力.教师要从思维方法和数学方法论的高度进行教学，促进学生思维的深度参与，提升数学思维品质.对于失误2，如果从数学美的角度来看，把“残缺”的图形补齐，延长AD、BC构造两个直角三角形，问题就迎刃而解了，而不是过分挖掘圆心的作用，作垂线构造直角三角形，缺少了思维的深度参与，学生的解题视野狭窄，解题手段单一，缺少应有的灵活性.

3.缺乏变化，不能洞悉数学本质

数学问题的本质就在于富于变化，特别是几何图形的结构千变万化，所以解决问题的方法也是多种多样，这是数学学科的特点，也是数学解题的魅力所在.很多老师把题目讲死、方法固定，失去了数学学习探究的趣味，学生沦为解题机器，从而失去学习数学的兴趣和动力.数学解题的变式教学，是深挖数学结构，探索数学本质最重要的手段.数学问题的变式方法很多：如把条件和结论互换，把条件强化和弱化，或者把结论特殊化或一般化，改变问题的背景等，本文不赘述这些方法.笔者要强调的是，对数学问题进行变式处理，反映出教师的基本功和对数学本质的理解，是教学必备的一项基本技能.从目前教学的现状来看，很多教师没有重视此项能力的提升，试想：解题教学中如果学生没有领悟数学本质，怎么能够提高思维能力，提升数学素养？对于无锡市这道考题的答题失误，就是没有理解数学本质，套用数学解题方法形成的，此题的本质就是构造直角三角形，然后解直角三角形，学生受圆的干扰，把思考问题的着力点放在圆上，导致解题失误，是对数学本质理解不透.命题者别具匠心，绕开了平时教学中作垂线构造直角三角形的做法，用“补形”来解决问题，恰好命中了教师的教和学生的学的“软肋”.

四、解题教学的应有之意

1.解题教学，渗透数学生长之道

众所周知，数学学习需要思维的参与，不能仅靠记忆和模仿解决问题，生搬硬套的数学学习就失去了本真，“模型”解题教学有诸多的弊端，实不可取.数学有其自身的鲜明特征，所以数学学习也应该有其独特的方法.笔者认为，数学基本概念、原理是数学思维的细胞，需要学习者深刻理解和领悟，这也是解题教学中要确定的目标之一，解题教学的目的不是解决一个数学问题写出答案，而是加深学生对数学知识和方法的理解.数学思想方法是数学能力提高的重要抓手，数学学科区别于其他学科的特质就在于有其自身的思想方法，这是解题教学中最需要揭示和挖掘的，数学中很多困难的问题就在于含有丰富的思想方法，其思维具有独到性，就是灵活运用数学思想方法的体现.掌握了基本概念，熟悉了数学思想，会用思维方法解决问题就意味着领悟了数学生长之道，数学素养就真正得到提升.

2.解题教学，培养多种思维品质

培养学生的逻辑思维能力、推理能力和多种思维品质是数学教学最重要的任务之一，而解题教学就是培养思维品质最重要的抓手.解题教学不仅仅是教给学生套路，掌握一些解题方法和技巧，其终极目标是培养学生的思维品质，即思维的敏捷性，灵活性、创新性等.对于问题中的条件和结论，要深刻理解其思维本质，这样思维的方向才能准确，思维才能敏捷，视野才能开阔.失误2的问题在于思维不灵活，只想到把∠B构造到直角三角形中，而不会把∠B转移到另一个直角三角形中.解题教学提倡一题多解、一题多变，才能使学生思维灵活.解题教学更提倡解后反思，反思思维的优化和思维的创新度，这是现代认知心理学所要求的，提高思维水平和思维监控能力的必经之路.教师的教学要让学生的解后反思成为习惯，通过教师课堂教学的示范和引领，真正做到把提高数学核心素养落实到课堂上和学生的学习中.

3.解题教学，提升数学观念

数学学习还有一个重要目标就是培养学生的数学观念，让学生会数学化地思考问题，这就要求学生深刻理解数学，掌握数学本质，灌输式教学不能解决数学的育人问题，甚至连解题也很难有大的进步.如上述考题，其本质就是解直角三角形，而三角函数就是刻画三角形中边角关系的，问题的难点在于已知∠B的余弦不能直接使用，而是经过作辅助线实现角的转移，实际上已知角的余弦，就是已知角的度数，结合已知的边CD就容易想到把∠B转化为∠ADC的补角，圆的作用就是实现角的转移，这就是数学化的思考，突出转化、化归、联系.培养数学观念的另一个途径就是数学文化的渗透.数学文化的内涵非常丰富，前文已经阐述的数学之美就可以大有作为.数学之美的类型这里不再赘述，笔者想要说明的是，数学之美不仅可以加深学生对数学知识的理解，陶冶学生的情操，更为重要的是，数学之美可以启发学生思考，提供解决问题方法和途径，教师一旦把数学之美和方法论联系起来就有极其重要的学习价值.如学生在解题中从“美”的角度出发，想到“补形”，延长AD和BC则问题迎刃而解.命题者如果能够命制出这样数学文化味浓厚的数学试题，对中学数学教学的引领和指导价值是巨大的，对于提升学生的核心素养，对于学生数学观念的形成都大有裨益.

解题教学不仅是让学生学会做题，而且要让学生提高对数学知识的理解，洞悉数学本质内涵，培养多种思维品质，进而形成正确的数学观念，所以解题教学值得广大数学教师深入研究.