试卷讲评时对较难考题的教学应对——以两道北京考题及变式拓展为例

☉江苏省如皋市港城实验学校初中部沈争光

一、写在前面

最近一次九年级的阶段调研测试中，有一道“较难考题”难住了绝大多数学生，题目如下：

较难考题：在平面直角坐标系xOy中，已知点M（-1，2）、N（2，1），若抛物线y=ax2-x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，求a的取值范围.

为了追求较好的讲评效果，备课组经过集体打磨，生成如下一份专题复习课案.本文整理出来，供分享和研讨.

二、微专题教学课例

例1（2016年北京，改编）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m-1与x轴的交点为A、B.横、纵坐标都是整数的点叫整点.若抛物线在点A、B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图像，求m的取值范围.

教学组织：预设如下问题串，启发学生思考.

问题1：求该抛物线顶点的坐标；（预设：顶点坐标为（1，-1））

问题2：当m=1时，分析线段AB上的整点的个数.（预设：3个）

图1

在这两个问题的引导之下，画出草图分析，

如图1，抛物线在点A、B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，可以发现点A应该在（-1，0）与（-2，0）之间（包括（-1，0）），当抛物线经过（-1，0）时，m=当抛物线经过点（-2，0）时，m=于是可确定m的取值范围为.教学时注意追问学生对这里的“＜”“≤”进行辨析.另外，还可追问学生是否可以把右侧的两个临界点（3，0）与（4，0）分别代入抛物线的解析式，求出相应的m的值.让学生理解根据抛物线的对称性质，它们是一致的.

变式拓展：（2018年山东济南，改编）若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫作“整点”.例如，P（1，0）、Q（2，-2）都是“整点”.抛物线y=mx2-4mx+4m-2（m＞0）与x轴交于A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有7个整点，分析m的取值范围.

教学预设：学生独立思考后，很快能确认抛物线开口向上，顶点坐标为（2，-2），对称轴是直线x=2.可知点（2，0）、点（2，-1）、顶点（2，-2）一定会在“围成区域”内，这样可进一步构造出如图2～图4所示的一些草图分析.

图2（m=时）

图3（m=1时）

图4（m=2时）

接下来，根据m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大，可得到＜m≤1时，该函数的图像与x轴所围城的区域（含边界）内有7个整点.要注意引导学生辨析“等号”添加的位置.

例2（2018年北京，改编）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-3a经过点A（-1，0），将点B（0，4）向右平移5个单位长度，得到点C.若抛物线与线段BC恰有1个公共点，结合函数图像，求a的取值范围.

教学组织：预设以下问题串，启发学生获得思路.

问题1：写出点B、C的坐标；（预设：B（0，4）、C（5，4））

问题2：求出抛物线的对称轴；（预设：直线x=1）

问题3：当抛物线与直线BC恰有1个公共点时，分析a的值；（预设：此时抛物线的顶点在BC上，可分析出顶点为（1，4），将顶点坐标代入解析式中，得a-2a-3a=4，解得a=-1）

问题4：当抛物线开口向下时，分析抛物线与线段BC的公共点情况（.预设：0＜a＜-1时，抛物线与线段BC没有交点；a=-1时，抛物线与线段BC只有1个公共点；当-≤a＜-1时，抛物线与线段BC有2个公共点；当a＜-时，抛物线与线段BC只有1个公共点）

在以上4个问题的引导之下，学生再分析时，就知道要分三种情形讨论，分别对应着图5～7.

图5

图6

图7

①如图5，当抛物线过点C时，把点C的坐标代入抛物线的解析式，解得a=；

②如图6，当抛物线过点B时，把点B的坐标代入抛物线的解析式，解得a=-；

③如图7，当抛物线的顶点在BC上时，此时顶点为（1，4），代入抛物线的解析式，解得a=-1.

变式拓展：在平面直角坐标系xOy中，已知M（-1，2）、N（2，1），若抛物线y=ax2-x+2（a≠0）与线段MN有2个不同的交点，求a的取值范围.

教学预设：由于这道较难题多数学生都不会，所以预设以下详细讲评.需要分两种情况研究.

情况1：当a＜0时，抛物线开口向下，此时抛物线的对称轴在y轴左侧，且经过y轴正半轴上的定点（0，2），这样，只要考虑抛物线经过线段MN的左端点M（-1，2）就行了，只要经过M点，则右侧线段MN一定会有另一个交点存在.把M（-1，2）的坐标代入y=ax2-x+2中，解得a=-1.再想清只要a≤-1时，抛物线的张口就很小，一定会与线段MN有2个不同交点.

情况2：当a＞0时，抛物线开口向上，这里先要考虑抛物线与直线MN有两个不同交点的情况，这需要联立它们的解析式（注意直线方程是y=-，得到关于x的一元二次方程，计算Δ＞0，得a＜；进一步，再考虑线段MN的端点，这时不需要考虑点M，因为点M在（0，2）的左侧，只要考虑线段NM的右端点N（2，1），代入抛物线的解析式，求出a=.故这样综合想清≤a＜.

另外，还可借助电脑上一些绘图软件生成一些临界图形，帮助学生直观感知上述临界值的确定，如图8-12.

图8（a=0.9时）

图9（a=时）

图10（a=时）

三、教后反思

1.“含参”函数题讲评时要注意数形互助

近年来，“含参”函数题连续出现在北京、河北、福建等省级中考试题中的把关题或较难题位置，带来强烈的导向，很多地区的中考命题都积极跟进，产生了很多“含参”函数考题.这类试题的特点就是不给图像，需要随着对条件的分析，选取一些特殊点的坐标确定一些临界图形的位置，再数形结合分析出字母参数的取值范围.在上面的复习课例中，我们不但预设了问题串铺垫设问，也提供了一些“临界图形”促进学生更好地直观理解.值得一提的是，提供临界图形要尽可能精准，因为一个精准的图形往往能启示解题方向、校正思路，这也是上面我们运用电脑软件作图的原因，可以让学生获得更好的“视觉”效果.

图11（a=-1时）

图12（a=-3时）

2.中考微专题复习宜同类题组变式呈现

《中学数学》（初中版）最近两年刊发了很多中考微专题复习课，对我们的日常教学非常有帮助，这些课例文章中的教学设计详细，既有各个教学环节的例题呈现，又有教学预设下的具体的铺垫设问，有些课例还提供了变式检测，是非常实用、接地气的微专题课例，可以直接“拿来”使用.像上文中的这份习题课的教学课例一样，也是得到相关课例文献的启示，对较难题的讲评进行了精心准备，收集了同类问题，并以题组形式归类呈现，渐次推进，变式拓展，通过一系列同类问题的层层递进，再组织学生共同思考“较难题”，起 到了较好的教学效果，一些成绩中等的学生也纷纷表示能理解这道“较难题”.

四、写在后面

在本文最后，想提及所谓的课题研究，特别是一些“高、大、上”的省、市级课题研究，普通一线教师往往“望而却步、敬而远之”.像本文这样从日常教学中较难题的讲评出发，检索、搜集同类题组，并构思成主题聚焦的微专题教学，想来不但是我们力所能及的，而且能切实解决教学现实问题，这大概也是值得我们重视的“手边课题”吧.